如何解一元二次方程：求根公式与韦达定理

一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，且 $a \neq 0$。它出现在面积问题、抛体运动、先升后降的利润问题里，也是中考和高考代数题的常客。解法主要有三种，选对方法能省时间、少出符号错误：缺项方程用因式分解，根是较小整数时用韦达定理凑数，其余情况用求根公式。

动笔之前，先想清楚方程的含义。方程的根就是让式子等于零的 x，也就是抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 x 轴的交点。抛物线可能与 x 轴交于两点、只相切于一点，或者完全在 x 轴上方或下方。这三种图像恰好对应下面判别式的三种情况。

缺少一次项或常数项时，公式照样能用，但属于多此一举。

• $b = 0$：$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$。别漏掉负根：(−3)² 也等于 9。
• $c = 0$：$x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x\,(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ 或 $x = 4$。

不要把 $x^2 - 4x = 0$ 两边同时除以 $x$，那样会丢掉 $x = 0$ 这个根。除以一个可能为零的式子总有风险，提取公因式则不会丢根。

还没算完，判别式 $\Delta$ 就已经告诉你有几个实根：

所以先算 Δ 很划算：如果它是负数，在实数范围内就可以直接回答”无解”。

1. 写出系数（连同符号）。 $a = 1$，$b = -2$，$c = -8$。
2. 计算判别式。 $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$。36 > 0，所以有两个不等实根。
3. 开平方。 $\sqrt{36} = 6$。
4. 代入公式。 $x = \dfrac{-(-2) \pm 6}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm 6}{2}$。
5. 分别求出两根。 $x_1 = \dfrac{8}{2} = 4$，$x_2 = \dfrac{-4}{2} = -2$。

检验。 把每个根代回原方程：

• $x = 4$：$16 - 8 - 8 = 0$，成立。
• $x = -2$：$4 + 4 - 8 = 0$，成立。

还可以不代入、用韦达定理再验一次：两根之和 4 + (−2) = 2，等于 $-b/a = 2$；两根之积 4 × (−2) = −8，等于 $c/a = -8$。两种独立的检验都吻合，答案就很可靠了。

1. $a = 2$，$b = 3$，$c = -2$。
2. $\Delta = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$。
3. $x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}$，所以 $x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = -2$。
4. 检验：$2 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 3 \cdot \tfrac{1}{2} - 2 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - 2 = 0$。

注意分母是 2a = 4，而不是 2。a 不等于 1 时，这里最容易出错。

$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$，没有实根：整条抛物线都在 x 轴上方。在复数范围内，根存在且互为共轭：$x = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$。初中阶段一般回答”方程没有实数根”即可。

求根公式来自配方法。两边同除以 $a$，把 $c/a$ 移到右边，再在两边同时加上 $\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2$，左边就成了完全平方式：

两边开平方再解出 $x$，就得到求根公式。了解推导过程，就能记住分母为什么是 $2a$ 而不是 2，也能理解 Δ 的作用：右边若为负数，没有哪个实数的平方等于它。

当 $a = 1$ 时，两根之和为 $-b$，两根之积为 $c$。解 $x^2 - 7x + 12 = 0$ 时，找和为 7、积为 12 的两个数：积为 12 的数对有 (1, 12)、(2, 6)、(3, 4)，只有 (3, 4) 的和是 7，所以两根是 3 和 4。

积为负数时，两根异号。$x^2 + x - 6 = 0$ 的两根之和为 −1、之积为 −6，数对 (2, −3) 符合，所以两根是 2 和 −3。几秒钟内凑不出来就别硬凑，直接用公式。

1. 忽略 b 的符号。 在 $x^2 - 5x + 6$ 中，$b = -5$，$-b = 5$。
2. 把 $-5^2$ 算成 −25，而判别式里应该是 $(-5)^2 = 25$。b 为负数时一定要加括号。
3. 弄错 −4ac 的符号。 a 与 c 异号时，−4ac 为正，Δ 会变大，就像上面的例题（4 + 32）。
4. 只把 −b 除以 2a，忘了 ±√Δ 也在分子里。
5. 两边约去 x，比如在 $x^2 = 4x$ 中，结果丢掉了零根。
6. 不检验。 把根代回去只要几秒钟，却能发现几乎所有符号错误。