比例问题（三数法则）：正比例、反比例与复比例例题

“三数法则”是用一个比例式求未知数的传统叫法。调整菜谱用量、计算油费、读地图比例尺、估算工期，以及各类考试里的大量应用题，都会用到它。计算本身很短，真正容易出错的是列式。动笔之前，只需先回答一个问题：这两个量是成正比例，还是成反比例？

• 正比例：一个量扩大到 2 倍，另一个量也扩大到 2 倍；一个量减半，另一个也减半。两者的比值不变。例：单价不变时，购买数量与总价。
• 反比例：一个量扩大到 2 倍，另一个量缩小为原来的一半。两者的乘积不变。例：路程相同时，速度与所用时间；或者注满同一个水池时，水龙头个数与所需时间。

下面的公式中，$x$ 和 $y$ 表示两个量，下标 1 和 2 分别表示已知情形和新情形。

有一个快速判断法：设想其中一个量扩大到 2 倍，看另一个量怎么变。也扩大到 2 倍，就是正比例；缩小一半，就是反比例；按别的方式变化（或不变），就不成比例，不能用比例式来解。

简单比例问题只涉及两个量和一个未知数。关系为正比例时，可以交叉相乘；更稳妥的做法是先求出单位量（单价），再相乘。

1. 涉及的量：质量和价格。咖啡越多，价格按同样比例增加：正比例。
2. 按两种情形列比例式，质量写在分子，价格写在分母。
3. 交叉相乘：3 乘 x 等于 5 乘 24，即 120。

检验： 每千克 24 ÷ 3 = 8 元，5 × 8 = 40 元，两种算法结果一致。先求单价其实是同一个计算换了顺序，好处是每个数的含义都看得见，列式出错时更容易发现。

关系为反比例时，照常交叉相乘会得到错误答案。应该利用乘积不变这一点：两种情形下的总工作量、路程或水池容积是相同的。

1. 涉及的量：瓦工人数和天数。人越少，天数越多：反比例（假设每人工作效率相同）。
2. 反比例中乘积不变：6 人干 10 天，总工作量是 60 个“人·天”。
3. 令两边乘积相等，求解。

检验： 4 × 15 = 60，与 6 × 10 相同。答案也合理：人少了，工期就长。如果误当成正比例，会得到 6/10 = 4/x，x ≈ 6.7 天，也就是人更少反而更快完工。这个荒谬的结果说明列式错了，所以每次都要检查答案是否合理。

涉及三个或更多的量时，方法是把每个量分别与所求的量比较，一次只看一个，其余的量视为不变。所求量等于已知值乘以每个量的比：正比例时用“新值 ÷ 原值”，反比例时把这个比倒过来。不需要画箭头，也不用死记格式。

1. 所求：零件数。已知值：1200。
2. 机器与零件：时间相同，机器越多，零件越多（正比例）。比为 12/8。
3. 天数与零件：机器相同，天数越少，零件越少（正比例）。比为 3/5。
4. 用已知值乘以这两个比。

检验： 每台机器每天生产 1200 ÷ (8 × 5) = 30 个零件。那么 12 台机器 3 天生产 12 × 3 × 30 = 1080 个。结果也合理：机器多了，但天数少得更多，天数的影响稍大一些。

1. 所求：天数。已知值：18。
2. 工人与天数：人越多，天数越少（反比例）。倒过来的比：10/15。
3. 每天工时与天数：每天干得越久，天数越少（反比例）。倒过来的比：6/8。
4. 用已知值乘以这两个比。

检验（用总工时，即“人·小时”）：10 × 6 × 18 = 1080，15 × 8 × 9 = 1080。总工作量相同，这正是应有的结果；工程提前完成，是因为人更多、每天干得更久。

并不是任意两个量之间都成比例。年龄和身高一起增长，但 4 岁孩子的身高并不是 2 岁孩子的 2 倍。正方形的面积也不与边长成正比：边长 2 厘米的正方形面积是 4 平方厘米，边长 4 厘米的面积是 16 平方厘米。边长扩大到 2 倍，面积扩大到 4 倍。如果机械地套比例式，会得到 8 平方厘米，只有正确答案的一半。

另一个典型例子是含固定费用的价格，比如出租车的起步价：路程加倍，车费并不加倍，因为起步价只收一次。列比例式之前，先确认两个量真的成比例。

1. 同时看所有的量来判断正反比例。 复比例问题中，每次只把一个量和所求量比较，其余的量固定不变。
2. 反比例也交叉相乘。 反比例应令乘积相等，或者把比倒过来。
3. 不成比例也套比例式，比如面积与边长、含固定费用的价格。
4. 单位不统一：小时和分钟、克和千克混用。先统一单位再计算。
5. 不检查答案是否合理。 人更少却完工更快，说明列式错了。