如何心算百分数：10%、1% 与乘数因子

百分数就是分母为 100 的分数：35% 表示 100 份中的 35 份。无论题目怎么描述，所有百分数问题最后都归结为一次乘法。只要把百分率拆成不用纸笔就能算的几块，再用另一种方法验算，心算就会变得轻松。

本文介绍几乎能解决一切问题的“锚点”、处理涨价和折扣的乘数因子、连续百分比变化的规律，以及如何倒推原价。每种方法都配有例题。

求数 V 的 x%，就把 V 乘以分数 x/100：

例：80 的 35% 是 0.35 × 80 = 28。这是在计算器上用的写法，也是验算任何结果的依据。不过心算时直接乘 0.35 并不方便，把百分率拆成简单的几部分会更快。

• 10%：除以 10，也就是小数点左移一位。470 的 10% 是 47。
• 5%：10% 的一半。470 的 5% 是 23.5。
• 1%：除以 100，小数点左移两位。470 的 1% 是 4.7。
• 50% 和 25%：一半，以及一半的一半。
• 20%、30%、40%：10% 的倍数。240 的 30% 是 3 × 24 = 72。

有了这些锚点，几乎任何百分率都能变成已知部分的加减。思路始终一样：选最省力的拆法。

1. 240 的 10% 是 24。
2. 5% 是它的一半：12。
3. 相加：24 + 12 = 36。

验算： 0.15 × 240 = 36。

这里“多算再减回来”比 10% + 5% + 4 × 1% 更简单。

1. 300 的 20% 是 2 × 30 = 60。
2. 300 的 1% 是 3。
3. 相减：60 − 3 = 57。

验算： 0.19 × 300 = 57。

因为 x/100 · y 等于 y/100 · x，所以 y 的 x% 等于 x 的 y%。这看似小技巧，却真能省时间。75 的 4% 等于 4 的 75%，也就是 4 的四分之三，等于 3。同理，50 的 8% 等于 8 的 50%，即 4。只要其中一个数是整齐的百分率（50%、25%、10%），就值得试试交换。

把一个数增加 i%，就是乘以 1 + i/100；减少 i%，就是乘以 1 − i/100。乘数因子一步到位，不必先求百分比再加减。

注意中文习惯说“打八折”，指按原价的 80% 付款，也就是降价 20%。例如 350 元涨价 12%，得 350 × 1.12 = 392 元。心算：350 的 10% 是 35，2% 是 7，350 + 42 = 392。

“八五折”就是降价 15%。

1. 乘数因子：1 − 0.15 = 0.85。
2. 最终价格：180 × 0.85 = 153 元。
3. 换一种方法验算： 180 的 15% 是 18 + 9 = 27，180 − 27 = 153。

连续的变化要相乘，不能相加。先涨 10% 再涨 10%，乘数因子是 1.1 × 1.1 = 1.21：总共上涨 21%，而不是 20%。第二次上涨是在已经涨过的价格上计算的。

反过来也一样。先涨 25% 再降 20%，得 1.25 × 0.8 = 1：价格正好回到原点。而先涨 10% 再降 10%，得 1.1 × 0.9 = 0.99，也就是损失 1%。

一件夹克标价 240 元。商店先打八五折，用会员卡支付再在折后价上打九折。最后付多少钱？总折扣是多少？

1. 第一次折扣。 240 的 10% 是 24，5% 是 12，所以 15% 是 36。价格降为 240 − 36 = 204 元。
2. 第二次折扣。 204 的 10% 是 20.40。最终价格为 204 − 20.40 = 183.60 元。
3. 合并因子。 0.85 × 0.9 = 0.765。最终价格是原价的 76.5%，所以总共便宜了 23.5%，而不是 25%。
4. 验算。 240 × 0.765 = 183.60，与第 2 步一致。而 240 的 23.5% 是 56.40，正好等于 240 与 183.60 的差。

如果把两次折扣直接相加（15% + 10% = 25%），你会以为只要付 180 元，比实际少算了 3.60 元。

• a 是 b 的百分之几？ 计算 a/b 再乘以 100。例如 18 是 72 的 18/72 = 0.25 = 25%。
• 涨价前的原价： 除以乘数因子。如果涨价 20% 后价格是 96 元，原价就是 96 / 1.2 = 80 元。同理，涨价 12% 后是 392 元，原价就是 392 / 1.12 = 350 元。

验算很简单：把求出的原价按比例上涨，看是否回到给定价格。80 × 1.2 = 96。

1. 把连续的百分率相加，而不是把乘数因子相乘。先打八五折再打九折，并不等于便宜 25%。
2. 用错基数。 要求涨价 20% 之前的价格，从 96 元中减去 20% 得到 76.80 元，而不是 80 元。涨价是按原价计算的，所以必须除以乘数因子。
3. 混淆百分点和百分比变化。 比率从 10% 升到 12%，是上升了 2 个百分点，但相对原来增长了 20%。
4. 小数点移错方向。 470 的 1% 是 4.7，不是 47。快速估算一下（1% 必须远小于原数）就能避免。
5. 以为降价后再涨同样的百分比就能抵消。 先降 10% 再涨 10%，只剩原来的 99%。