单利与复利：区别、公式和例题

利息是资金的时间价格：借出的人因为放弃眼前的钱而收费，存钱的人因为把钱交给银行而获得回报。单利与复利的区别不在利率本身，而在于每一期的利率作用在哪个金额上。这个细节在一个月里几乎看不出来，几年之后却会变成很大的差别。

记号：$P$ 为本金，$r$ 为每期利率（写成小数，2% 写作 0.02），$t$ 为期数，$I$ 为利息，$A = P + I$ 为本利和。

单利下，每一期的利息完全相同，因为计息基数从不改变。¥1000 按月利率 2% 计息，第一个月得 ¥20，第二个月还是 ¥20，以此类推。本利和每期增加同样的数额，构成等差数列，图像是一条直线。

¥1000 按月利率 2% 存 12 个月：小数利率为 0.02，利息为 1000 × 0.02 × 12 = 240，本利和为 ¥1240。单利常见于按天计算的滞纳金、部分短期借款，更重要的是，它是理解复利的起点。

复利下，每一期的利息都并入余额，下一期按这个更大的余额计息。本利和不再每期加上同样的数，而是每期乘以同一个因子 1 + r。这是等比数列，图像是一条越来越陡的曲线。

同样是 ¥1000、月利率 2%、12 个月，每月因子为 1.02，本利和为 1000 × 1.02¹²，约 ¥1268.24。利息为 ¥268.24，比单利多 ¥28.24。收益再投资的理财产品、信用卡欠款和大多数贷款都是按复利计算的。

本金 ¥1000、每期利率 10% 时，差别一目了然：

第一期两者相同，因为还没有已产生的利息可以再生息。从第二期起复利开始拉开距离：10 期后差额已超过 ¥593。

题目： 把 ¥5000 按月利率 1% 存 24 个月。两种方式下期末各有多少？相差多少？

1. 换算利率： 月利率 1% 即 r = 0.01。利率和期限单位相同（月），无需换算期限。
2. 单利： I = 5000 × 0.01 × 24 = 1200。本利和 A = 5000 + 1200 = ¥6200.00。
3. 复利： 先算累计因子 1.01²⁴ ≈ 1.269735。本利和 A = 5000 × 1.269735 ≈ ¥6348.67。
4. 差额： 6348.67 − 6200.00 = ¥148.67，复利更多。
5. 解读： 第一年末复利余额已达 ¥5634.13，第二年在这个更大的金额上计息，优势正是由此而来。

验算： 反向计算。用复利本利和除以因子：6348.67 ÷ 1.269735 ≈ 5000.00，正好是本金。单利部分 1200 ÷ 24 = 50，每月恰为 5000 的 1%。两个结果都成立。

如果两个利率在相同期限内把相同的本金变成相同的本利和，它们就是等价的。复利下的换算要用乘方，而不是乘法：

月利率 1% 时：1.01¹² ≈ 1.1268，等价年利率约为 12.68%，而不是 12%。这正是名义年利率与实际年利率之间的差别。只有在单利下，才可以直接乘以或除以 12。

当未知数是时间时，需要把指数”拿下来”，这正是对数的作用。按年利率 10%，本金多久翻倍？要求 P × 1.1ᵗ = 2P，即 1.1ᵗ = 2：

约 7.27 年。“72 法则”可以快速心算估计：72 ÷ 10 = 7.2 年，适用于每期 5% 到 15% 的利率。

1. 把百分数直接代入公式。 用 2 代替 0.02，结果会放大一百倍。
2. 单位不统一。 年利率配月数会得到无意义的结果，要先统一单位。
3. 复利利率直接除以 12。 复利下年利率 12% 并不等于月利率 1%，应使用乘方关系。
4. 混淆利息和本利和。 A = P(1 + r)ᵗ 给出的是总额，利息是 A − P。
5. 过早四舍五入。 把 1.01²⁴ 取成 1.27 会让结果偏差几元，计算过程中至少保留四位小数。