Uma equação do 2º grau tem a forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 com a≠0a \neq 0. Há três caminhos, e escolher o certo economiza tempo: fatoração nas incompletas, soma e produto quando as raízes são inteiras e a fórmula geral para todo o resto.

Equações incompletas

  • b=0b = 0: x2−9=0⇒x2=9⇒x=±3x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3.
  • c=0c = 0: x2−4x=0⇒x (x−4)=0⇒x=0x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x\,(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 ou x=4x = 4.

Cuidado com a tentação de dividir x2−4x=0x^2 - 4x = 0 por xx: isso apaga a raiz x=0x = 0.

A fórmula geral (Bhaskara)

Δ=b2−4acx=−b±Δ2a\Delta = b^2 - 4ac \qquad x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

O discriminante Δ\Delta diz quantas raízes reais existem:

Sinal de Δ\DeltaRaízes reais
Δ>0\Delta > 0duas, distintas
Δ=0\Delta = 0uma (raiz dupla)
Δ<0\Delta < 0nenhuma

Exemplo resolvido: x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0

  1. Coeficientes: a=1a = 1, b=−5b = -5, c=6c = 6.
  2. Δ=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.
  3. x=5±12x = \dfrac{5 \pm 1}{2}, logo x1=3x_1 = 3 e x2=2x_2 = 2.

Exemplo resolvido: 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 0

  1. a=2a = 2, b=3b = 3, c=−2c = -2.
  2. Δ=9−4⋅2⋅(−2)=9+16=25\Delta = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.
  3. x=−3±54x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}, logo x1=12x_1 = \dfrac{1}{2} e x2=−2x_2 = -2.
  4. Conferência: 2⋅(12)2+3⋅12−2=12+32−2=02 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 3 \cdot \tfrac{1}{2} - 2 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - 2 = 0.

Exemplo resolvido: x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0

  1. Δ=4−20=−16<0\Delta = 4 - 20 = -16 < 0.
  2. Não há raiz real. Nos complexos, x=−2±4i2=−1±2ix = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i.

De onde vem a fórmula

Ela sai de completar quadrado. Dividindo por aa e somando (b2a)2\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2 aos dois lados:

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Tirando a raiz quadrada dos dois lados e isolando xx, chega-se à fórmula. Saber isso ajuda a lembrar por que o denominador é 2a2a e não só 22.

Soma e produto das raízes

Para raízes x1x_1 e x2x_2 de ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0:

x1+x2=−bax1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Exemplo resolvido: x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0

  1. Soma =7= 7 e produto =12= 12.
  2. Pares com produto 12: (1,12)(1, 12), (2,6)(2, 6), (3,4)(3, 4). O único com soma 7 é (3,4)(3, 4).
  3. Raízes: 33 e 44.

Exemplo resolvido: x2+x−6=0x^2 + x - 6 = 0

  1. Soma =−1= -1 e produto =−6= -6. Produto negativo: raízes de sinais opostos.
  2. O par (2,−3)(2, -3) tem soma −1-1 e produto −6-6.
  3. Raízes: 22 e −3-3.

Erros comuns

  1. Esquecer que bb carrega o sinal: em x2−5x+6x^2 - 5x + 6, b=−5b = -5 e −b=5-b = 5.
  2. Calcular −52-5^2 como −25-25 quando o certo é (−5)2=25(-5)^2 = 25.
  3. Dividir só −b-b por 2a2a, esquecendo o ±Δ\pm\sqrt{\Delta}.

Perguntas frequentes

Por que no Brasil se chama fórmula de Bhaskara?

É um costume brasileiro. A fórmula já era conhecida antes do matemático indiano Bhaskara II; em outros países ela se chama simplesmente fórmula quadrática.

O que fazer quando o delta é negativo?

Não há raízes reais. Nos números complexos as raízes existem e são conjugadas, como −1 ± 2i para x² + 2x + 5 = 0.

Preciso usar Bhaskara em equação incompleta?

Não é necessário. Se b = 0, isole x². Se c = 0, coloque x em evidência. É mais rápido e evita erros de sinal.

Quando vale a pena usar soma e produto?

Quando a = 1 e as raízes são inteiras pequenas. Se nenhum par óbvio aparece em alguns segundos, vá para a fórmula.