Logaritmo responde a uma pergunta só: a que expoente preciso elevar a base para obter este número?

log⁡ba=x  ⟺  bx=a\log_b a = x \iff b^x = a

com as condições de existência b>0b > 0, b≠1b \neq 1 e a>0a > 0.

Primeiros exemplos

  • log⁡28=3\log_2 8 = 3, porque 23=82^3 = 8.
  • log⁡101000=3\log_{10} 1000 = 3, porque 103=100010^3 = 1000.
  • log⁡51=0\log_5 1 = 0, porque 50=15^0 = 1.
  • log⁡319=−2\log_3 \tfrac{1}{9} = -2, porque 3−2=193^{-2} = \tfrac{1}{9}.

Exemplo resolvido: log⁡927\log_9 27

  1. Escreva as duas bases como potências de 3: 9=329 = 3^2 e 27=3327 = 3^3.
  2. Procure xx com 9x=279^x = 27: (32)x=33⇒32x=33(3^2)^x = 3^3 \Rightarrow 3^{2x} = 3^3.
  3. 2x=32x = 3, logo log⁡927=32\log_9 27 = \dfrac{3}{2}.

Propriedades

Para bases e argumentos válidos:

log⁡b(x⋅y)=log⁡bx+log⁡bylog⁡bxy=log⁡bx−log⁡bylog⁡bxn=n⋅log⁡bxlog⁡ba=log⁡calog⁡cb\begin{aligned} \log_b (x \cdot y) &= \log_b x + \log_b y \\ \log_b \frac{x}{y} &= \log_b x - \log_b y \\ \log_b x^n &= n \cdot \log_b x \\ \log_b a &= \frac{\log_c a}{\log_c b} \end{aligned}

Todas vêm das regras de potência: multiplicar potências de mesma base soma expoentes, e o logaritmo é exatamente o expoente.

Exemplo resolvido: log⁡12\log 12 sabendo que log⁡2≈0,301\log 2 \approx 0{,}301 e log⁡3≈0,477\log 3 \approx 0{,}477

  1. Fatore: 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3.
  2. log⁡12=2log⁡2+log⁡3\log 12 = 2 \log 2 + \log 3.
  3. log⁡12≈0,602+0,477=1,079\log 12 \approx 0{,}602 + 0{,}477 = 1{,}079.

Exemplo resolvido: log⁡5\log 5 com os mesmos dados

  1. 5=1025 = \dfrac{10}{2}.
  2. log⁡5=log⁡10−log⁡2≈1−0,301=0,699\log 5 = \log 10 - \log 2 \approx 1 - 0{,}301 = 0{,}699.

Mudança de base

Calculadoras costumam ter só log⁡\log (base 10) e ln⁡\ln (base ee). Para outras bases, divida:

Exemplo resolvido: log⁡23\log_2 3

  1. log⁡23=log⁡3log⁡2\log_2 3 = \dfrac{\log 3}{\log 2}.
  2. ≈0,4770,301≈1,585\approx \dfrac{0{,}477}{0{,}301} \approx 1{,}585.
  3. Conferência grosseira: 21=2<3<4=222^1 = 2 < 3 < 4 = 2^2, então o valor está entre 1 e 2.

Equações exponenciais

Quando não dá para igualar as bases, aplique logaritmo dos dois lados e use a propriedade da potência.

Exemplo resolvido: 2x=102^x = 10

  1. log⁡2x=log⁡10\log 2^x = \log 10.
  2. x⋅log⁡2=1x \cdot \log 2 = 1.
  3. x=1log⁡2≈10,301≈3,32x = \dfrac{1}{\log 2} \approx \dfrac{1}{0{,}301} \approx 3{,}32.

Exemplo resolvido: 3x+1=813^{x+1} = 81

  1. 81=3481 = 3^4, então dá para igualar as bases: x+1=4x + 1 = 4.
  2. x=3x = 3.

Erros comuns

  1. Escrever log⁡(a+b)=log⁡a+log⁡b\log(a + b) = \log a + \log b.
  2. Esquecer as condições de existência e aceitar soluções que deixam o argumento negativo.
  3. Confundir log⁡bxn=nlog⁡bx\log_b x^n = n \log_b x com (log⁡bx)n(\log_b x)^n.

Perguntas frequentes

Por que a base do logaritmo não pode ser 1?

Porque 1 elevado a qualquer expoente é 1. A equação 1^x = 5 não tem solução e 1^x = 1 tem infinitas, então o logaritmo não ficaria bem definido.

Existe logaritmo de número negativo?

Não nos números reais. Com base positiva, b^x é sempre positivo, então nenhum expoente real produz um número negativo ou zero.

O que significa log sem base escrita?

No ensino médio brasileiro, log x costuma indicar base 10 e ln x a base e ≈ 2,718. Em textos de computação, log pode ser base 2; confira a convenção.

log(a + b) é igual a log a + log b?

Não. A propriedade vale para o produto: log(a · b) = log a + log b. Por exemplo, log(1 + 1) = log 2 ≈ 0,301, mas log 1 + log 1 = 0.