对数：定义、运算性质与例题

对数只回答一个问题：底数要乘方到几次，才能得到这个数？

存在条件是 $b > 0$，$b \neq 1$，$a > 0$。本文中不写底数的 $\log$ 表示以 10 为底（即 $\lg$）。

基本例子

• $\log_2 8 = 3$，因为 $2^3 = 8$。
• $\log_{10} 1000 = 3$，因为 $10^3 = 1000$。
• $\log_5 1 = 0$，因为 $5^0 = 1$。
• $\log_3 \tfrac{1}{9} = -2$，因为 $3^{-2} = \tfrac{1}{9}$。

例题：$\log_9 27$

1. 把两个数都写成 3 的幂：$9 = 3^2$，$27 = 3^3$。
2. 求满足 $9^x = 27$ 的 $x$：$(3^2)^x = 3^3 \Rightarrow 3^{2x} = 3^3$。
3. $2x = 3$，所以 $\log_9 27 = \dfrac{3}{2}$。

运算性质

在底数和真数都有意义时：

这些性质都来自幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；而对数正是指数。

例题：已知 $\log 2 \approx 0.301$，$\log 3 \approx 0.477$，求 $\log 12$

1. 分解：$12 = 2^2 \cdot 3$。
2. $\log 12 = 2 \log 2 + \log 3$。
3. $\log 12 \approx 0.602 + 0.477 = 1.079$。

例题：用同样的数据求 $\log 5$

1. $5 = \dfrac{10}{2}$。
2. $\log 5 = \log 10 - \log 2 \approx 1 - 0.301 = 0.699$。

换底公式

计算器通常只有 $\log$（以 10 为底）和 $\ln$（以 $e$ 为底）。其他底数用除法换算：

例题：$\log_2 3$

1. $\log_2 3 = \dfrac{\log 3}{\log 2}$。
2. $\approx \dfrac{0.477}{0.301} \approx 1.585$。
3. 粗略验算：$2^1 = 2 < 3 < 4 = 2^2$，所以结果在 1 和 2 之间。

指数方程

无法化成同底时，两边取对数，再用幂的对数性质。

例题：$2^x = 10$

1. $\log 2^x = \log 10$。
2. $x \cdot \log 2 = 1$。
3. $x = \dfrac{1}{\log 2} \approx \dfrac{1}{0.301} \approx 3.32$。

例题：$3^{x+1} = 81$

1. $81 = 3^4$，可以化成同底：$x + 1 = 4$。
2. $x = 3$。

常见错误

1. 写成 $\log(a + b) = \log a + \log b$。
2. 忽略存在条件，接受使真数为负的解。
3. 把 $\log_b x^n = n \log_b x$ 与 $(\log_b x)^n$ 混淆。