El logaritmo responde a una sola pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener este número?

log⁡ba=x  ⟺  bx=a\log_b a = x \iff b^x = a

con las condiciones de existencia b>0b > 0, b≠1b \neq 1 y a>0a > 0.

Primeros ejemplos

  • log⁡28=3\log_2 8 = 3, porque 23=82^3 = 8.
  • log⁡101000=3\log_{10} 1000 = 3, porque 103=100010^3 = 1000.
  • log⁡51=0\log_5 1 = 0, porque 50=15^0 = 1.
  • log⁡319=−2\log_3 \tfrac{1}{9} = -2, porque 3−2=193^{-2} = \tfrac{1}{9}.

Ejemplo resuelto: log⁡927\log_9 27

  1. Escribe ambos números como potencias de 3: 9=329 = 3^2 y 27=3327 = 3^3.
  2. Busca xx con 9x=279^x = 27: (32)x=33⇒32x=33(3^2)^x = 3^3 \Rightarrow 3^{2x} = 3^3.
  3. 2x=32x = 3, así que log⁡927=32\log_9 27 = \dfrac{3}{2}.

Propiedades

Para bases y argumentos válidos:

log⁡b(x⋅y)=log⁡bx+log⁡bylog⁡bxy=log⁡bx−log⁡bylog⁡bxn=n⋅log⁡bxlog⁡ba=log⁡calog⁡cb\begin{aligned} \log_b (x \cdot y) &= \log_b x + \log_b y \\ \log_b \frac{x}{y} &= \log_b x - \log_b y \\ \log_b x^n &= n \cdot \log_b x \\ \log_b a &= \frac{\log_c a}{\log_c b} \end{aligned}

Todas vienen de las leyes de los exponentes: multiplicar potencias de igual base suma los exponentes, y el logaritmo es exactamente el exponente.

Ejemplo resuelto: log⁡12\log 12 sabiendo que log⁡2≈0,301\log 2 \approx 0{,}301 y log⁡3≈0,477\log 3 \approx 0{,}477

  1. Factoriza: 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3.
  2. log⁡12=2log⁡2+log⁡3\log 12 = 2 \log 2 + \log 3.
  3. log⁡12≈0,602+0,477=1,079\log 12 \approx 0{,}602 + 0{,}477 = 1{,}079.

Ejemplo resuelto: log⁡5\log 5 con los mismos datos

  1. 5=1025 = \dfrac{10}{2}.
  2. log⁡5=log⁡10−log⁡2≈1−0,301=0,699\log 5 = \log 10 - \log 2 \approx 1 - 0{,}301 = 0{,}699.

Cambio de base

Las calculadoras suelen tener solo log⁡\log (base 10) y ln⁡\ln (base ee). Para otras bases, divide:

Ejemplo resuelto: log⁡23\log_2 3

  1. log⁡23=log⁡3log⁡2\log_2 3 = \dfrac{\log 3}{\log 2}.
  2. ≈0,4770,301≈1,585\approx \dfrac{0{,}477}{0{,}301} \approx 1{,}585.
  3. Comprobación aproximada: 21=2<3<4=222^1 = 2 < 3 < 4 = 2^2, así que el valor está entre 1 y 2.

Ecuaciones exponenciales

Cuando no se pueden igualar las bases, aplica logaritmos en ambos lados y usa la propiedad de la potencia.

Ejemplo resuelto: 2x=102^x = 10

  1. log⁡2x=log⁡10\log 2^x = \log 10.
  2. x⋅log⁡2=1x \cdot \log 2 = 1.
  3. x=1log⁡2≈10,301≈3,32x = \dfrac{1}{\log 2} \approx \dfrac{1}{0{,}301} \approx 3{,}32.

Ejemplo resuelto: 3x+1=813^{x+1} = 81

  1. 81=3481 = 3^4, así que se pueden igualar las bases: x+1=4x + 1 = 4.
  2. x=3x = 3.

Errores comunes

  1. Escribir log⁡(a+b)=log⁡a+log⁡b\log(a + b) = \log a + \log b.
  2. Olvidar las condiciones de existencia y aceptar soluciones que vuelven negativo el argumento.
  3. Confundir log⁡bxn=nlog⁡bx\log_b x^n = n \log_b x con (log⁡bx)n(\log_b x)^n.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la base de un logaritmo no puede ser 1?

Porque 1 elevado a cualquier exponente es 1. La ecuación 1^x = 5 no tiene solución y 1^x = 1 tiene infinitas, así que el logaritmo no estaría bien definido.

¿Existe el logaritmo de un número negativo?

No en los números reales. Con base positiva, b^x siempre es positivo, así que ningún exponente real produce un número negativo o cero.

¿Qué significa log sin base escrita?

En la mayoría de los cursos escolares, log x indica base 10 y ln x la base e ≈ 2,718. En computación, log suele ser base 2; revisa la convención.

¿log(a + b) es igual a log a + log b?

No. La propiedad es para el producto: log(a · b) = log a + log b. Por ejemplo, log(1 + 1) = log 2 ≈ 0,301, pero log 1 + log 1 = 0.