对数：定义、运算性质与例题

Q: 为什么对数的底数不能是 1？

因为 1 的任何次方都是 1。方程 1^x = 5 无解，1^x = 1 有无穷多个解，所以对数无法唯一确定。

Q: 负数有对数吗？

在实数范围内没有。底数为正时 b^x 总是正数，没有任何实数指数能得到负数或 0。

Q: lg、ln 和 log 有什么区别？

国内教材中 lg x 表示以 10 为底的常用对数，ln x 表示以 e ≈ 2.718 为底的自然对数，log_a x 表示以 a 为底。计算机领域的 log 常指以 2 为底，要看具体约定。

Q: 什么时候用 ln，什么时候用 lg？

解指数方程时都可以：两个对数的比值与底数无关。ln 常见于连续增长和微积分，lg 常见于 pH、分贝等刻度。

对数只回答一个问题：底数要乘方到几次，才能得到这个数？ 如果你知道 2 的 3 次方是 8，你就已经知道以 2 为底 8 的对数是 3。后面的全部内容都由这句话推出。

\log_b a = x \iff b^x = a

定义：对数就是指数。

记住各部分的名称有助于读题：b 是底数，a 是真数，x 是对数。存在条件有三条：底数大于 0，底数不等于 1，真数大于 0。它们不是形式要求，每一条都排除了“指数是多少”没有唯一答案的情况。

为什么要有存在条件

如果底数是 1，任何次方都等于 1，那么“1 的几次方等于 5”无解，“1 的几次方等于 1”有无穷多个解。如果底数是负数，像 (−2) 的 1/2 次方这样的幂在实数范围内根本不存在。而底数为正时，所有的幂都是正数，没有任何实数指数能得到 0 或负数，所以真数必须大于 0。

入门例子

$\log_2 8 = 3$ ，因为 $2^3 = 8$ 。
$\lg 1000 = 3$ ，因为 $10^3 = 1000$ 。
$\log_5 1 = 0$ ，因为 $5^0 = 1$ 。对任何底数都成立：1 的对数总是 0。
$\log_7 7 = 1$ ，因为 $7^1 = 7$ 。底数自身的对数总是 1。
$\log_3 \tfrac{1}{9} = -2$ ，因为 $3^{-2} = \tfrac{1}{9}$ 。对数可以是负数，不能为负的是真数。

当数字不是明显的幂时，把它们化成同一个底。求以 9 为底 27 的对数：把 9 写成 3²，27 写成 3³，问题变成“(3²) 的 x 次方等于 3³”，即 2x = 3，x = 3/2。验算：9 的 1.5 次方就是 9 的平方根再立方，3³ = 27。

对数函数的图像

对数函数是指数函数的反函数。在图像上，log₂ x 的曲线与 2^x 的曲线关于直线 y = x 对称：指数函数上的点 (1, 2)、(2, 4)、(3, 8) 在对数函数上变成 (2, 1)、(4, 2)、(8, 3)。注意对数增长得多么缓慢：函数值从 2 升到 3，自变量要从 4 增加到 8。

指数函数 2^x 与对数函数 log₂ x 关于直线 y = x 对称。

运算性质

在底数和真数都有意义时，下面四条公式成立。它们都来自幂的运算法则：同底数幂相乘指数相加，相除指数相减，乘方指数相乘。对数就是指数，所以加、减、乘就体现在对数上。

\begin{aligned} \log_b (x \cdot y) &= \log_b x + \log_b y \\ \log_b \frac{x}{y} &= \log_b x - \log_b y \\ \log_b x^n &= n \cdot \log_b x \\ \log_b a &= \frac{\log_c a}{\log_c b} \end{aligned}

积、商、幂的对数与换底公式。

已知 lg 2 ≈ 0.301、lg 3 ≈ 0.477，不用计算器也能算出很多对数。因为 12 = 2² · 3，所以 lg 12 = 2 · lg 2 + lg 3 ≈ 0.602 + 0.477 = 1.079。因为 5 = 10/2，所以 lg 5 = lg 10 − lg 2 ≈ 1 − 0.301 = 0.699。又因为 2 的 10 次方是 1024，略大于 1000，所以 lg 1024 = 10 · 0.301 ≈ 3.01，正好对应 1024 略大于 10³。

换底公式

计算器通常只有 lg（常用对数，底数 10）和 ln（自然对数，底数 e ≈ 2.718）。求其他底数的对数时，用真数的对数除以底数的对数，二者用计算器上的同一种对数即可。例如 log₂ 3 = lg 3 / lg 2 ≈ 0.477 / 0.301 ≈ 1.585。粗略验证：2¹ = 2 < 3 < 4 = 2²，所以结果应在 1 和 2 之间，确实如此。

例题：本金多久翻一番

某理财产品月利率 1%，按月复利。存入的本金多少个月后翻一番？未知数在指数上，这正是对数的用武之地。

1.01^n = 2

本金每月乘以 1.01，乘 n 次后要达到两倍。

两边同时取对数（任何底数都行，用计算器上有的）：lg(1.01ⁿ) = lg 2。
由幂的对数性质，指数移到前面：n · lg 1.01 = lg 2。
解出 n：n = lg 2 / lg 1.01。
用计算器：lg 2 ≈ 0.30103，lg 1.01 ≈ 0.0043214，所以 n ≈ 69.66。
利息按月计入，所以到第 70 个月余额才第一次超过两倍。

验算： 1.01 的 69 次方约为 1.987，仍小于 2；1.01 的 70 次方约为 2.007，已经超过 2。所以答案 70 个月是正确的。改用 ln 计算，n 也一样，因为两个对数的比值与底数无关。

其他指数方程

并不总是需要计算器。解 3^(x+1) = 81 时，注意 81 = 3⁴，令指数相等：x + 1 = 4，所以 x = 3。而 2^x = 10 无法化成同底，就两边取对数：x · lg 2 = lg 10 = 1，x = 1 / lg 2 ≈ 3.32。这个结果合理，因为 2³ = 8 和 2⁴ = 16 正好夹住 10。

课堂之外的对数

跨越许多数量级的量常用对数刻度表示：溶液的 pH 值、声音的分贝、地震的震级。在这些刻度上，读数加 1 意味着实际的量乘以一个固定倍数。在计算机科学中，log₂ n 表示 n 能对半分多少次，所以在一百万个元素中做二分查找只需要大约 20 步。

常见错误

写成 lg(a + b) = lg a + lg b。 这条性质只对乘积成立，对和不成立。检验：lg(1 + 1) = lg 2 ≈ 0.301，而 lg 1 + lg 1 = 0。
忽略存在条件。 解对数方程后，要检查解是否使所有真数为正；不满足的解要舍去。
把 lg(xⁿ) 和 (lg x)ⁿ 混为一谈。 真数上的指数可以移到前面作系数；整个对数的指数不能。
把对数相除当成真数相除。 lg 8 / lg 2 = 3，而 lg(8/2) = lg 4 ≈ 0.602，这是两种不同的运算。
过早取近似值。 在利息问题中，把 lg 1.01 取成 0.004 而不是 0.0043，答案会从 70 个月变成约 76 个月。

常见问题

为什么对数的底数不能是 1？