Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 con a≠0a \neq 0. Hay tres caminos, y elegir el correcto ahorra tiempo: factorización en las incompletas, suma y producto cuando las raíces son enteras y la fórmula general para todo lo demás.

Ecuaciones incompletas

  • b=0b = 0: x2−9=0⇒x2=9⇒x=±3x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3.
  • c=0c = 0: x2−4x=0⇒x (x−4)=0⇒x=0x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x\,(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 o x=4x = 4.

Cuidado con la tentación de dividir x2−4x=0x^2 - 4x = 0 entre xx: eso elimina la raíz x=0x = 0.

La fórmula general

Δ=b2−4acx=−b±Δ2a\Delta = b^2 - 4ac \qquad x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

El discriminante Δ\Delta indica cuántas raíces reales hay:

Signo de Δ\DeltaRaíces reales
Δ>0\Delta > 0dos, distintas
Δ=0\Delta = 0una (raíz doble)
Δ<0\Delta < 0ninguna

Ejemplo resuelto: x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0

  1. Coeficientes: a=1a = 1, b=−5b = -5, c=6c = 6.
  2. Δ=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.
  3. x=5±12x = \dfrac{5 \pm 1}{2}, así que x1=3x_1 = 3 y x2=2x_2 = 2.

Ejemplo resuelto: 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 0

  1. a=2a = 2, b=3b = 3, c=−2c = -2.
  2. Δ=9−4⋅2⋅(−2)=9+16=25\Delta = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.
  3. x=−3±54x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}, así que x1=12x_1 = \dfrac{1}{2} y x2=−2x_2 = -2.
  4. Comprobación: 2⋅(12)2+3⋅12−2=12+32−2=02 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 3 \cdot \tfrac{1}{2} - 2 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - 2 = 0.

Ejemplo resuelto: x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0

  1. Δ=4−20=−16<0\Delta = 4 - 20 = -16 < 0.
  2. No hay raíz real. En los complejos, x=−2±4i2=−1±2ix = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i.

De dónde sale la fórmula

Sale de completar el cuadrado. Dividiendo entre aa y sumando (b2a)2\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2 en ambos lados:

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Sacando raíz cuadrada en ambos lados y despejando xx, se llega a la fórmula. Saberlo ayuda a recordar por qué el denominador es 2a2a y no solo 22.

Suma y producto de las raíces

Para las raíces x1x_1 y x2x_2 de ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0:

x1+x2=−bax1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Ejemplo resuelto: x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0

  1. Suma =7= 7 y producto =12= 12.
  2. Pares con producto 12: (1,12)(1, 12), (2,6)(2, 6), (3,4)(3, 4). El único con suma 7 es (3,4)(3, 4).
  3. Raíces: 33 y 44.

Ejemplo resuelto: x2+x−6=0x^2 + x - 6 = 0

  1. Suma =−1= -1 y producto =−6= -6. Producto negativo: raíces de signos opuestos.
  2. El par (2,−3)(2, -3) tiene suma −1-1 y producto −6-6.
  3. Raíces: 22 y −3-3.

Errores comunes

  1. Olvidar que bb lleva su signo: en x2−5x+6x^2 - 5x + 6, b=−5b = -5 y −b=5-b = 5.
  2. Calcular −52-5^2 como −25-25 cuando lo correcto es (−5)2=25(-5)^2 = 25.
  3. Dividir solo −b-b entre 2a2a y olvidar el ±Δ\pm\sqrt{\Delta}.

Preguntas frecuentes

¿Por qué en Brasil se llama fórmula de Bhaskara?

Es una costumbre brasileña. La fórmula ya se conocía antes del matemático indio Bhaskara II; en otros países se llama fórmula general o fórmula cuadrática.

¿Qué hago si el discriminante es negativo?

No hay raíces reales. En los números complejos las raíces existen y son conjugadas, como −1 ± 2i para x² + 2x + 5 = 0.

¿Necesito la fórmula general en una ecuación incompleta?

No. Si b = 0, despeja x². Si c = 0, saca x como factor común. Es más rápido y evita errores de signo.

¿Cuándo conviene usar suma y producto?

Cuando a = 1 y las raíces son enteros pequeños. Si en unos segundos no aparece un par evidente, pasa a la fórmula.