如何心算百分数：10%、1% 与乘数因子

百分数是分母为 100 的分数：$x\%$ 表示 $\dfrac{x}{100}$。所有百分数问题最终都是一次乘法；把百分率拆成不用纸笔就能算的几块，心算就变得容易。

适用于所有情况的定义

求数值 $V$ 的 $x\%$：

例如：$80$ 的 $35\%$ 是 $0.35 \cdot 80 = 28$。这种写法适合用计算器或验算；心算时，拆分更快。

基准：10%、5% 和 1%

• 10%：除以 10（小数点左移一位）。$470$ 的 $10\%$ 是 $47$。
• 5%：10% 的一半。$470$ 的 $5\%$ 是 $23.5$。
• 1%：除以 100。$470$ 的 $1\%$ 是 $4.7$。
• 50% 和 25%：一半，以及一半的一半。

有了这些基准，几乎任何百分率都能变成加法或减法。

例题：240 的 15%

1. $240$ 的 $10\%$ 是 $24$。
2. $5\%$ 是它的一半：$12$。
3. 相加：$24 + 12 = 36$。

例题：300 的 19%

1. $300$ 的 $20\%$ 是 $2 \cdot 30 = 60$。
2. $300$ 的 $1\%$ 是 $3$。
3. 相减：$60 - 3 = 57$。

需要时交换顺序

因为 $\dfrac{x}{100} \cdot y = \dfrac{y}{100} \cdot x$，所以 $y$ 的 $x\%$ 等于 $x$ 的 $y\%$。这看似技巧，却很省时：$75$ 的 $4\%$ 等于 $4$ 的 $75\%$，也就是 $3$。

用乘数因子算涨价和折扣

增加 $i\%$ 就是乘以 $1 + \dfrac{i}{100}$；减少 $i\%$ 就是乘以 $1 - \dfrac{i}{100}$。

例题：180 元的商品降价 15%

1. 折扣因子：$1 - 0.15 = 0.85$。
2. 最终价格：$180 \cdot 0.85 = 153$。
3. 心算验算：$180$ 的 $15\%$ 是 $18 + 9 = 27$，$180 - 27 = 153$。

连续的百分比变化

连续变化要相乘，不能相加。连续两次上涨 $10\%$，因子是 $1.1 \cdot 1.1 = 1.21$：总共上涨 $21\%$，而不是 $20\%$。

例题：先涨 25%，再降 20%

1. 因子：$1.25$ 和 $0.80$。
2. 乘积：$1.25 \cdot 0.8 = 1$。
3. 价格恰好回到原价。

求百分率或原值

• $a$ 是 $b$ 的百分之几？ 计算 $\dfrac{a}{b} \cdot 100$。例如 $18$ 占 $72$ 的 $\dfrac{18}{72} = 0.25 = 25\%$。
• 涨价前的原价：涨价 $20\%$ 后价格是 96 元，原价是 $\dfrac{96}{1.2} = 80$ 元。常见错误是从 $96$ 中减去它的 $20\%$，得到 $76.80$。

最常见的错误

1. 把连续的百分率相加，而不是把因子相乘。
2. 题目问的是原值，却按最终值计算百分数。
3. 混淆百分点与百分比变化。