平均数、中位数和众数：怎么算，什么时候用

平均数、中位数和众数都是集中趋势的度量：它们各自尝试用一个典型值来概括一组数据。听起来像是同一个问题，其实不然。平均数回答的是”如果把总量平均分，每人能分到多少”；中位数回答的是”哪个数把数据分成上下两半”；众数回答的是”哪个数出现得最多”。选错度量不会算错，但会得出错误的结论，很多新闻、报告和考试题正是在这里让读者上当。

把所有数值相加，再除以数值的个数。它是最常用的度量，因为用到了全部数据；但也正因如此，一个特别大或特别小的数就会明显改变它。

以成绩 6、7、7、8、9 为例：总和是 37，共 5 个成绩，平均数是 37 除以 5，等于 7.4。注意，没有哪位同学考了 7.4。平均数不一定是数据中的某个值。

当各个数值的重要程度不同时，先用每个数乘以它的权重，再把总和除以权重之和，而不是除以数值的个数。

一次考试得 6 分、权重 2，另一次得 8 分、权重 3：加权和是 2 × 6 + 3 × 8 = 12 + 24 = 36，权重之和是 5，平均数是 36 ÷ 5 = 7.2。若三次考试分别得 5、7、9 分，权重为 1、2、3，则 (5 + 14 + 27) ÷ 6 = 46 ÷ 6 ≈ 7.67：权重最大的那次考试把结果拉向自己的分数。期末考试占比更高的总评成绩就是这样计算的。

先把数据从小到大排序。若个数 n 为奇数，中位数就是正中间那个数，位于第 (n + 1) ÷ 2 个位置；若 n 为偶数，就没有唯一的中间数，中位数是中间两个数的平均数。

• 数据 9、4、7、10、8 排序后为 4、7、8、9、10。共 5 个数，第 3 个在中间，中位数是 8。
• 数据 10、4、8、7 排序后为 4、7、8、10。共 4 个数，中间两个是 7 和 8，中位数是 (7 + 8) ÷ 2 = 7.5。

众数是出现次数最多的数。在 3、5、5、6、9 中，众数是 5。在 2、2、4、4、7 中有两个众数 2 和 4，这组数据是双峰的。如果每个数出现的次数都相同，通常说没有众数。

众数是三者中唯一适用于分类数据的度量。在一项关于学生上学方式的调查中，如果”公交车”是最多的回答，它就是众数；上学方式没有平均数，也没有中位数。在鞋店里，卖得最多的鞋码也是众数：在售出的 36、37、38、38、38、39、40、40 码中，众数是 38，也就是最值得备货的尺码。

一家假想的公司有 7 名员工，月薪（单位：千元）分别为 2、2、3、3、3、4 和 20，最后一个是老板的工资。哪个数最能描述典型员工的工资？

验算。 各数与平均数之差的总和必须为零：前六个数都低于 5.29，而 20 比它高 14.71，所有偏差的精确和为 0。另一种验算方法：去掉 20 千元的工资，剩下六人的平均数降到 17 ÷ 6 ≈ 2.83 千元，降到原来的一半多一点，而中位数仍是 3 千元。一个数改变了平均数却没有改变中位数，这正是两者的区别。

一个经验法则：平均数和中位数接近时，数据大致对称，用哪个都可以；两者相差很大时，比如上面的工资例子，这个差距本身就是信息：有极端值在拉动平均数，最好两个都报告。

1. 不排序就求中位数。 在 9、4、7、10、8 中，原始列表中间的数是 7，但中位数是 8。
2. 忘记偶数个数的情况。 数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，而不是其中第一个。
3. 加权平均数除以成绩的个数。 在权重为 2 和 3 的例子中，用 36 除以 2 得到 18，比任何一个成绩都高。应该除以权重之和。
4. 用平均数描述少数极高值的收入或价格。 计算没有错，但描述的是一个几乎不存在的人。
5. 以为众数总是唯一的。 一组数据可以有两个众数，也可以没有众数。