Probabilidad en el tenis: cómo el 55% de los puntos se vuelve 62% de los games

Septiembre es mes del US Open, y quien sigue el tenis conoce la sensación: dos jugadores parecen parejos punto a punto, pero el marcador final es amplio. No es una ilusión. El sistema de conteo del tenis funciona como un amplificador de ventajas, y ese efecto se mide con probabilidad de preparatoria y una serie geométrica. Los números de este artículo son hipotéticos: la idea es entender el mecanismo, no pronosticar ningún partido.

El modelo: cada punto es una moneda cargada

Supongamos que el jugador A gana cada punto con la misma probabilidad $p$ , sin depender de los puntos anteriores, y llamemos $q = 1 - p$ a la probabilidad de perderlo. En la realidad el que saca suele tener ventaja y hay momentos de presión, pero el modelo simple ya muestra lo esencial.

La regla del game: gana quien llegue primero a 4 puntos con al menos 2 de diferencia. Los nombres 15, 30 y 40 corresponden a 1, 2 y 3 puntos. Si se llega a 3 a 3 (40 iguales, el deuce), el game solo termina cuando alguien saca 2 puntos de ventaja.

Dividir el game en casos

El jugador A puede ganar de cuatro formas: 4 a 0, 4 a 1, 4 a 2 o pasando por el deuce. Los tres primeros casos son conteo puro. El último punto siempre es de A, así que solo los anteriores pueden reordenarse.

4 a 0: cuatro puntos seguidos, probabilidad $p^4$ .
4 a 1: A pierde 1 de los 4 primeros puntos, en cualquier orden; son $\binom{4}{1} = 4$ órdenes. Probabilidad $4p^4q$ .
4 a 2: A pierde 2 de los 5 primeros; $\binom{5}{2} = 10$ órdenes. Probabilidad $10p^4q^2$ .
Deuce: 3 puntos para cada uno en los 6 primeros; $\binom{6}{3} = 20$ órdenes. Probabilidad de llegar: $20p^3q^3$ .

No existe el caso 4 a 3: con 3 a 3 el game ya entró en deuce.

El deuce y la serie geométrica

Desde el deuce, mira los puntos de dos en dos. Cada par tiene tres resultados: A gana ambos ( $p^2$ ) y cierra el game; B gana ambos ( $q^2$ ) y cierra el game; o se reparten ( $2pq$ ) y se vuelve al deuce. Así, A puede ganar en el primer par, o tras una vuelta al deuce, o tras dos, y así sucesivamente. Sumar todos esos caminos da una serie geométrica de razón $2pq$ , menor que 1, por lo que converge.

P(\text{ganar desde el deuce}) = \sum_{k=0}^{\infty} p^2(2pq)^k = \frac{p^2}{1-2pq}

Cada regreso al deuce multiplica por 2pq; la suma infinita es finita.

Desde el deuce con p = 0.6: A gana ambos puntos con 0.36, B con 0.16 y un reparto (0.48) vuelve al deuce. Así p²/(1 − 2pq) = 0.36/0.52 ≈ 0.6923.

Al juntar todo, la probabilidad de ganar el game queda así:

P(\text{game}) = p^4\left(1 + 4q + 10q^2\right) + 20p^3q^3\cdot\frac{p^2}{1-2pq}

Probabilidad de ganar un game cuando cada punto se gana con probabilidad p, con q = 1 − p.

Prueba rápida: con $p = 0.5$ la fórmula debe dar exactamente 50%, porque los jugadores son idénticos. Y así es: los términos suman 0.5.

Ejemplo resuelto: p = 0.6

Probabilidad de ganar el game con el 60% de los puntos

$\displaystyle p = 0.6,\quad q = 0.4$ Define los valores. Con p = 0.6, q = 0.4.
$\displaystyle p^4 = 0.1296$ Victoria 4 a 0: eleva p a la cuarta.
$\displaystyle 4p^4q = 4 \cdot 0.1296 \cdot 0.4 = 0.20736$ Victoria 4 a 1: cuatro órdenes posibles.
$\displaystyle 10p^4q^2 = 10 \cdot 0.1296 \cdot 0.16 = 0.20736$ Victoria 4 a 2: diez órdenes posibles.
$\displaystyle 20p^3q^3 = 20 \cdot 0.216 \cdot 0.064 = 0.27648$ Probabilidad de llegar al deuce: veinte órdenes con 3 puntos para cada uno.
$\displaystyle \frac{p^2}{1-2pq} = \frac{0.36}{1 - 0.48} = \frac{0.36}{0.52} \approx 0.6923$ Probabilidad de ganar desde el deuce, con la serie geométrica.
$\displaystyle 0.1296 + 0.20736 + 0.20736 + 0.27648 \cdot 0.6923 \approx 0.7357$ Suma los casos directos y el caso del deuce.
Verificación: como fracción exacta el valor es 29889/40625, es decir 0.7357. Una simulación de 200,000 games aleatorios con p = 0.6 también da alrededor de 73.6%.

Cómo crece una ventaja pequeña

Con la misma fórmula para otros valores de $p$ (todos hipotéticos):

Probabilidad de ganar el punto	Probabilidad de ganar el game
50%	50.0%
55%	62.3%
60%	73.6%
65%	83.0%

Cinco puntos porcentuales más en el punto se convierten en más de 12 puntos porcentuales en el game. La razón es que el game exige una racha de éxitos: hay que llegar a 4 y además sacar 2 de ventaja. Cuantos más eventos pide un formato, más pesa el promedio frente al azar, la misma idea de la ley de los grandes números.

El set repite el truco un nivel arriba: hay que ganar 6 games con 2 de diferencia (o un tie-break). Así, una ventaja ya ampliada en el game se amplía otra vez, y un partido a cinco sets la amplía una tercera vez. Calcular el set exige seguir quién saca en cada game, pero la estructura es la misma: casos directos contados con combinaciones, más un tramo que se repite.

La curva en S del game: 50% por punto da 50.0%, 55% da 62.3%, 60% da 73.6% y 65% da 83.0%. La recta muestra el punto sin amplificación.

Errores comunes

Olvidar los órdenes. Escribir $p^4q$ para el 4 a 1 ignora que el punto perdido puede ser cualquiera de los 4 primeros. El coeficiente binomial es obligatorio.
Dejar la derrota en el último punto. El punto final siempre es del ganador; por eso el 4 a 2 usa $\binom{5}{2}$ y no $\binom{6}{2}$ .
Tratar el deuce como un solo punto. Desde el deuce se necesitan dos seguidos, y el reparto reinicia el ciclo.
Equivocar la razón. Es $2pq$ , no $pq$ : el par repartido puede ocurrir en dos órdenes.
Confundir modelo con realidad. Puntos independientes con $p$ fijo es una simplificación útil, no una descripción exacta de un partido real.

Preguntas frecuentes

¿Por qué converge la serie del deuce?

Porque la razón 2pq nunca pasa de 0.5 (el máximo ocurre con p = 0.5). Una serie geométrica con razón entre 0 y 1 suma a/(1 − r), aquí p²/(1 − 2pq).

¿La fórmula sirve para el tie-break?

La idea es la misma con otros coeficientes: el tie-break va a 7 puntos con 2 de diferencia, así que se cuentan las victorias de 7 a 0 hasta 7 a 5 y luego el empate 6 a 6, que también se resuelve con p²/(1 − 2pq).

¿Y si el jugador rinde distinto al saque y al resto?

Dentro de un game siempre saca el mismo, así que p fijo es razonable. La diferencia aparece en el set, donde se alterna el saque; se calcula una probabilidad de game para cada caso y se combinan.

¿Sirve para pronosticar resultados reales?

Sirve para entender la estructura. Un pronóstico real requiere estimar p con datos confiables y considerar que los puntos no son perfectamente independientes.