Probabilidad en eliminatorias: árbol, producto y penales

En toda llave de ida y vuelta, la afición se hace la misma pregunta: ¿qué probabilidad tiene mi equipo de pasar? Las llaves de ida y vuelta son un gran laboratorio de probabilidad, porque combinan dos eventos en secuencia, un desempate y una tanda de penales. Aquí usamos dos equipos hipotéticos, A y B, con probabilidades inventadas. No se trata de pronosticar nada, sino de mostrar la matemática que usa cualquier modelo de pronóstico.

Cada partido tiene tres resultados posibles para el equipo A: victoria (V), empate (E) o derrota (D). Con dos partidos, el espacio muestral tiene 3 × 3 = 9 caminos: VV, VE, VD, EV, EE, ED, DV, DE y DD. Es justamente un diagrama de árbol: el primer nivel tiene tres ramas y cada rama se abre en otras tres.

Para obtener la probabilidad de un camino usamos la regla del producto. Si los partidos son independientes (el resultado de la ida no cambia las probabilidades de la vuelta), la probabilidad de que ocurran ambos eventos es el producto de sus probabilidades.

La independencia es una simplificación. En la práctica, quien gana la ida puede jugar la vuelta más a la defensiva, y eso cambia las probabilidades. Los modelos más completos usan probabilidad condicional, $P(B \mid A)$, en lugar de $P(B)$. Para aprender la estructura, el modelo independiente es el punto de partida correcto.

Otro detalle: con el reglamento actual, la llave se define por diferencia de goles en el global y, si hay igualdad, van a penales. Para no modelar marcadores, supongamos que cada victoria del ejemplo es por un gol. Así, VD y DV dejan el global igualado, EE también, y esos tres caminos van a penales.

Supongamos que, para el equipo A, las probabilidades son estas. En la ida, de local: victoria 0,5, empate 0,3 y derrota 0,2. En la vuelta, de visitante: victoria 0,3, empate 0,3 y derrota 0,4. En cada partido las tres probabilidades suman 1, como debe ser. Supongamos también que en penales cada equipo tiene 50% de probabilidad de ganar.

Verificación. Calcula los penales directamente, sin el complemento: VD da 0,5 × 0,4 = 0,20, DV da 0,2 × 0,3 = 0,06 y EE da 0,3 × 0,3 = 0,09. La suma es 0,35, igual que en el paso 4. Y los tres grupos suman 0,39 + 0,26 + 0,35 = 1, lo que confirma que ningún camino quedó fuera ni se contó dos veces. Con el mismo razonamiento, el equipo B avanza con 1 − 0,565 = 0,435.

Fíjate cuánto pesan los penales: si A tuviera 55% en la tanda en vez de 50%, el total subiría a 0,39 + 0,35 × 0,55 = 0,5825.

La tanda también se puede modelar. Supongamos que cada pateador convierte con probabilidad 0,75 y que los tiros son independientes. ¿Qué probabilidad hay de que un equipo convierta sus cinco primeros? Por la regla del producto, 0,75 a la quinta, cerca de 0,237. Entonces la probabilidad de fallar al menos uno es el evento complementario:

El complemento es la herramienta correcta cada vez que aparece “al menos uno”. Calcular directamente “exactamente un fallo, o exactamente dos, o…” exigiría sumar cinco términos, cada uno con sus combinaciones. Con el complemento es una sola cuenta: 1 − 0,237 ≈ 0,763. En este modelo, en cerca del 76% de las tandas el equipo falla al menos uno de sus cinco tiros.

• Sumar en lugar de multiplicar. La probabilidad de ganar la ida y la vuelta es 0,5 × 0,3 = 0,15, no 0,5 + 0,3. La “y” entre eventos independientes pide producto; la “o” entre caminos que no se superponen pide suma.
• Olvidar caminos. Quien anota solo VV, EE y DD pierde seis de los nueve. Dibuja el árbol completo antes de calcular.
• Tratar el global igualado como derrota. Los caminos a penales todavía dan chance de clasificar.
• Suponer independencia sin decirlo. Es una hipótesis del modelo, no un hecho. Si la ida cambia la vuelta, usa probabilidad condicional.
• Confundir probabilidad con certeza. Un equipo con 56,5% queda fuera en cerca del 43,5% de los escenarios.