Probabilidade em mata-mata: árvore, produto e pênaltis

Em todo mata-mata de ida e volta, a torcida faz a mesma pergunta: qual a chance de o meu time passar? Confrontos de ida e volta são um ótimo laboratório de probabilidade, porque juntam dois eventos em sequência, um desempate e uma disputa de pênaltis. Neste texto usamos dois times hipotéticos, A e B, e probabilidades inventadas para o exemplo. O objetivo não é prever resultado nenhum, e sim mostrar a matemática que qualquer modelo de previsão usa por baixo.

Cada partida tem três resultados possíveis para o time A: vitória (V), empate (E) ou derrota (D). Com dois jogos, o espaço amostral tem 3 × 3 = 9 caminhos: VV, VE, VD, EV, EE, ED, DV, DE e DD. Essa é a mesma ideia de uma árvore de possibilidades: o primeiro nível tem três galhos, e cada galho se abre em mais três.

Para saber a probabilidade de um caminho específico, usamos a regra do produto. Se os dois jogos forem independentes (o resultado da ida não muda as chances da volta), a probabilidade de acontecerem os dois eventos é o produto das probabilidades.

A independência é uma simplificação. Na prática, quem vence a ida pode jogar a volta de forma mais defensiva, e isso muda as chances. Modelos mais sofisticados usam probabilidade condicional, $P(B \mid A)$, em vez de $P(B)$. Para aprender a estrutura, o modelo independente é o ponto de partida certo.

Outro detalhe: no regulamento atual, o critério do confronto é o saldo de gols somado nos dois jogos, e o empate no agregado leva aos pênaltis. Para não precisar modelar placares, vamos supor que toda vitória no exemplo é por um gol de diferença. Assim, VD e DV zeram o saldo, EE também, e esses três caminhos vão para os pênaltis.

Suponha que, para o time A, as probabilidades sejam estas. No jogo de ida, em casa: vitória 0,5, empate 0,3 e derrota 0,2. No jogo de volta, fora: vitória 0,3, empate 0,3 e derrota 0,4. Repare que em cada jogo as três probabilidades somam 1, como tem de ser. Suponha também que, se houver pênaltis, cada time tem 50% de chance de vencer.

Verificação. Calcule os pênaltis diretamente, sem usar o complemento: VD dá 0,5 × 0,4 = 0,20, DV dá 0,2 × 0,3 = 0,06 e EE dá 0,3 × 0,3 = 0,09. A soma é 0,35, igual ao passo 4. E os três grupos juntos somam 0,39 + 0,26 + 0,35 = 1, o que confirma que nenhum caminho ficou de fora nem foi contado duas vezes. Pelo mesmo raciocínio, o time B avança com 1 − 0,565 = 0,435.

Vale notar como os pênaltis pesam: se A tivesse 55% de chance na disputa, em vez de 50%, a probabilidade total subiria para 0,39 + 0,35 × 0,55 = 0,5825. Uma diferença pequena num evento que acontece em mais de um terço dos cenários mexe no resultado final.

A disputa de pênaltis também pode ser modelada. Suponha que cada cobrador converta com probabilidade 0,75 e que as cobranças sejam independentes. Qual a chance de um time converter as cinco primeiras? Pela regra do produto, é 0,75 elevado a 5, cerca de 0,237. Então a chance de errar pelo menos uma é o evento complementar:

O complemento é a ferramenta certa sempre que aparece a expressão “pelo menos um”. Calcular diretamente “exatamente um erro, ou exatamente dois, ou…” exigiria somar cinco parcelas, cada uma com uma combinação diferente. Com o complemento, é uma conta só: 1 − 0,237 ≈ 0,763. Ou seja, no modelo, em cerca de 76% das disputas o time erra ao menos uma das cinco cobranças, o que ajuda a entender por que decisões por pênaltis raramente terminam em 5 a 5.

• Somar em vez de multiplicar. A chance de vencer a ida e a volta é 0,5 × 0,3 = 0,15, não 0,5 + 0,3. O “e” entre eventos independentes pede produto; o “ou” entre caminhos que não se sobrepõem pede soma.
• Esquecer caminhos. Quem lista só VV, EE e DD perde seis dos nove caminhos. Desenhe a árvore completa antes de calcular.
• Tratar empate no agregado como derrota. Os caminhos que vão para os pênaltis ainda têm chance de classificação; ignorá-los subestima os dois times.
• Supor independência sem avisar. Ela é uma hipótese do modelo, não um fato. Se a ida mudar o comportamento na volta, use probabilidade condicional.
• Confundir probabilidade com certeza. Um time com 56,5% de chance perde o confronto em cerca de 43,5% dos cenários. Probabilidade alta não é garantia.