两回合淘汰赛中的概率：树状图、乘法原理与点球大战

每到主客场两回合的淘汰赛，球迷都会问同一个问题：我支持的球队晋级的机会有多大？主客场两回合的对决是很好的概率练习场，因为它包含先后两个事件、一次决胜规则和一场点球大战。本文使用两支假设的球队 A 和 B，概率都是为举例而设定的。目的不是预测比赛，而是展示任何预测模型背后都会用到的数学。

对 A 队来说，每场比赛有三种结果：胜（W）、平（D）、负（L）。两场比赛的样本空间共有 3 × 3 = 9 条路径：WW、WD、WL、DW、DD、DL、LW、LD、LL。这正是树状图：第一层有三个分支，每个分支再分出三个。

要求某条路径的概率，就用乘法原理。如果两场比赛相互独立（首回合结果不影响次回合的概率），那么两个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。

独立性只是一种简化。现实中，首回合获胜的球队可能在次回合更加保守，从而改变概率。更精细的模型会用条件概率 $P(B \mid A)$ 代替 $P(B)$。但要理解结构，独立模型是正确的起点。

还有一个细节：按现行规则，两回合按总净胜球决定晋级，总比分持平则进行点球大战。为了不必模拟具体比分，假设本例中每场胜利都只赢一球。这样 WL 和 LW 净胜球相互抵消，DD 也是如此，这三条路径都进入点球。

假设 A 队的概率如下。首回合主场：胜 0.5，平 0.3，负 0.2。次回合客场：胜 0.3，平 0.3，负 0.4。每场比赛三个概率之和都等于 1。再假设如果进入点球大战，双方获胜概率各为 50%。

验算。 不用对立事件，直接计算点球概率：WL 为 0.5 × 0.4 = 0.20，LW 为 0.2 × 0.3 = 0.06，DD 为 0.3 × 0.3 = 0.09，合计 0.35，与第 4 步一致。三组加起来 0.39 + 0.26 + 0.35 = 1，说明没有遗漏也没有重复计算。同理，B 队晋级的概率是 1 − 0.565 = 0.435。

点球的影响不小：如果 A 在点球中的胜率是 55% 而不是 50%，总概率会升到 0.39 + 0.35 × 0.55 = 0.5825。

点球大战本身也可以建模。假设每名罚球队员的命中率都是 0.75，且各次罚球相互独立。一支球队前五轮全部罚进的概率是多少？由乘法原理，是 0.75 的 5 次方，约 0.237。因此至少罚丢一球的概率就是它的对立事件：

只要出现“至少一个”，对立事件就是合适的工具。直接计算“恰好丢一球、恰好丢两球……”需要把五项分别相加，每项还涉及不同组合。用对立事件只需一步：1 − 0.237 ≈ 0.763。在这个模型里，约 76% 的点球大战中，一支球队会在前五轮中至少罚丢一球。

• 该乘却加。 首回合且次回合都赢的概率是 0.5 × 0.3 = 0.15，而不是 0.5 + 0.3。独立事件之间的“且”对应乘法，互不重叠路径之间的“或”对应加法。
• 漏掉路径。 只列 WW、DD、LL 会漏掉九条中的六条。计算前先画完整的树状图。
• 把总比分持平当作失败。 进入点球的路径仍有晋级机会，忽略它们会低估双方。
• 默认独立却不说明。 独立是模型假设，不是事实。若首回合会影响次回合，应使用条件概率。
• 把概率当成确定。 晋级概率 56.5% 的球队，仍有约 43.5% 的情形会被淘汰。