分数的加减乘除：方法与例题

分数就是尚未计算的除法：$\dfrac{a}{b}$ 等于 $a \div b$，其中 $b \neq 0$。分母表示把整体平均分成几份，分子表示取了其中几份。本文所有法则都来自这种理解，以及一条基本性质：分子和分母同时乘以（或除以）同一个非零数，分数的大小不变。所以 2/3、4/6 和 8/12 是同一个量的三种写法。

理解了这条性质，就不必死记四条互不相关的规则。加法要求每一份大小相同；乘法是”取一部分的一部分”；除法是问一个分数里包含多少个另一个分数。下面逐一讲解并配有例题，最后给出一道带验算的完整应用题。

三分之一和四分之一不能直接相加，就像米和厘米不换算就不能相加一样：每一份的大小不同。分母相同时，直接相加即可：

分母不同时，先把两个分数化成同分母（通分）。任何公倍数都可以，用两个分母的乘积也一定可行，见下面的通用公式。最小的公分母是分母的最小公倍数，计算最简短。

1. 3 和 4 的最小公倍数是 12。
2. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$（分子分母同乘 4），$\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$（同乘 3）。
3. 和：$\dfrac{8 + 3}{12} = \dfrac{11}{12}$。

11 是质数且不整除 12，所以结果已是最简分数。动画展示两个分数都被分成 12 等份，和占其中 11 份。

1. 6 和 8 的最小公倍数是 24。
2. $\dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{24}$，$\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}$。
3. 差：$\dfrac{20 - 9}{24} = \dfrac{11}{24}$。

如果用乘积 48 作分母，会得到 22/48，约分后同样是 11/24。结果一样，只是更费事。

乘法不需要通分。乘以一个分数就是”取其中的一部分”：3/4 的 2/3，就是取四分之三的三分之二。相乘之前把有公因数的分子和分母交叉约分，可以避免出现大数。

1. 交叉约分：3 和 9 同除以 3，8 和 4 同除以 4。
2. 得到 $\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{2}{3}$。
3. 结果：$\dfrac{2}{3}$。

如果不先约分，会得到 $\dfrac{24}{36}$，同样约成 $\dfrac{2}{3}$，但更费事。

除以一个分数，就是问这个数里包含多少个这个分数。3 杯里有多少个 1/4 杯？12 个，而 3 × 4/1 = 12。每份 3/4 杯的话能分 4 份，因为 3 ÷ 3/4 = 3 × 4/3 = 4。

1. 把除数倒过来：$\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10}$。
2. 交叉约分：5 和 10 同除以 5，9 和 6 同除以 3。
3. $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4}$。

带分数 $2\tfrac{1}{3}$ 表示 2 个整体再加三分之一。计算前先化成假分数：整数部分乘分母，再加上分子。

1. $\dfrac{7}{3} + \dfrac{3}{2}$。
2. 3 和 2 的最小公倍数是 6：$\dfrac{14}{6} + \dfrac{9}{6} = \dfrac{23}{6}$。
3. 化回带分数：23 = 3 × 6 + 5，所以是 $3\tfrac{5}{6}$。

一份食谱需要 3/4 杯糖。你只做这份食谱的 2/3，家里已有 1/3 杯糖。还差多少糖？

1. 需要的糖：3/4 的 2/3，即 $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}$。交叉约分（3 和 3、2 和 4）得 $\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ 杯。
2. 还差：$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$。2 和 3 的最小公倍数是 6：$\dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}$ 杯。
3. **验算：**已有的加上还差的，$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$，正好是需要的量。再用需要的量除以整份食谱的用量，$\dfrac{1}{2} \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3}$，正是你决定做的比例。两次验算都吻合。

1. 把分母相加。 1/2 + 1/3 不等于 2/5：2/5 比加数 1/2 还小，显然不对。正确答案是 5/6。
2. 除法时倒错了分数。 把被除数而不是除数倒过来，会得到答案的倒数。5/6 ÷ 10/9 的正确结果是 3/4，不是 4/3。
3. 约掉和式中的一项。 $\dfrac{2 + 6}{2}$ 不能直接”约去”2，它的值是 8/2 = 4。只有乘积中的因数才能约分。
4. 最后忘了约分。 24/36 没错，但老师和考试期望的答案是 2/3。
5. 带分数不化成假分数就计算。 把 $2\tfrac{1}{3}$ 乘以 3 时只乘整数部分，会得到 6 又三分之一；正确结果是 7/3 × 3 = 7。

一个快速检查的方法是先估算：2/3 + 1/4 在 1/2 和 1 之间，所以 11/12 是合理的。如果算出 3/7，马上就知道哪里出错了。