最大公约数（也叫最大公因数，记作 (a, b)）是能整除所有给定数、且没有余数的最大整数。最小公倍数（记作 [a, b]）是同时是所有给定数倍数的最小正整数。两者用处很多：异分母分数相加要用最小公倍数通分；把分数约成最简分数要用最大公约数；周期性重复、问何时再次相遇的题目用最小公倍数；把东西分成若干等份、每份尽量大的题目用最大公约数。
常用方法有三种，各自在不同情形下最快。三种都掌握，再根据数的大小选择。
背后的思路：质因数
每个大于 1 的整数都能唯一地写成质数的乘积（算术基本定理）。可以把质数想成积木。一个数的约数只能用这个数本身拥有的积木，而且个数不能超过它拥有的。一个数的倍数则至少要包含这个数的全部积木。
由此得到两条规则：要整除所有数，最大公约数只能用每个数都有的质因数，指数最多取最小的那个；要成为所有数的倍数，最小公倍数需要出现过的每个质因数，指数取最大的那个。
方法一：分解质因数
把每个数分解成质因数，再比较指数。
- 最大公约数：公共质因数的乘积，每个取较小的指数。
- 最小公倍数：出现过的所有质因数的乘积，每个取较大的指数。
以 12 和 18 为例：12 = 2² · 3，18 = 2 · 3²。最大公约数取 2¹ · 3¹ = 6，最小公倍数取 2² · 3² = 36。验算：6 × 36 = 216，12 × 18 = 216。
方法二：短除法
把几个数并排写好，按从小到大的顺序用质数去除，写在同一张表里，直到每一列都变成 1。某个质数除不尽某个数时，就把这个数原样抄到下一行。
| 各数 | 质数除数 |
|---|---|
| 12, 18, 30 | 2 (全部整除) |
| 6, 9, 15 | 2 |
| 3, 9, 15 | 3 (全部整除) |
| 1, 3, 5 | 3 |
| 1, 1, 5 | 5 |
| 1, 1, 1 | 结束 |
最小公倍数是所有除数的乘积：2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180。最大公约数只取在同一行里能整除全部数的那些除数：2 · 3 = 6。三个或更多较小的数，用这个方法最方便。
方法三：辗转相除法（欧几里得算法）
数很大时，分解质因数很慢。欧几里得算法依据一个简单事实：若 r 是 a 除以 b 的余数，那么 a 与 b 的公约数恰好就是 b 与 r 的公约数。所以：
一直除到余数为 0，最后用到的除数就是最大公约数。例如：84 = 2 × 36 + 12，接着 36 = 3 × 12 + 0。余数为 0，所以 (84, 36) = 12。
捷径：由最大公约数求最小公倍数
对两个正整数，最小公倍数与最大公约数之积等于这两个数之积。所以用辗转相除法求出最大公约数后，最小公倍数只需一步：
以 84 和 36 为例：84 × 36 = 3024，3024 ÷ 12 = 252。技巧：先除后乘（84 ÷ 12 = 7，7 × 36 = 252），数字更小，不易算错。
例题：252 厘米 × 198 厘米的地面
一块长方形地面长 252 厘米、宽 198 厘米，要铺同样大小的正方形地砖，地砖尽量大，而且一块都不切割。地砖边长是多少？一共需要多少块？
- 明确问的是什么。 边长必须在地面的长和宽上都恰好放下整数块，所以它是公约数；最大的那个就是最大公约数。
- 辗转相除。 252 = 1 × 198 + 54；198 = 3 × 54 + 36；54 = 1 × 36 + 18；36 = 2 × 18 + 0。最后的除数是 18，所以 (252, 198) = 18。
- 用分解质因数核对。 252 = 2² · 3² · 7，198 = 2 · 3² · 11。公共质因数取较小指数：2 · 3² = 18，结果一致。
- 数地砖。 长边放 252 ÷ 18 = 14 块，宽边放 198 ÷ 18 = 11 块，共 14 × 11 = 154 块边长 18 厘米的地砖。
- 验算。 14 和 11 除 1 以外没有公约数，所以不存在更大的地砖。再用捷径：[252, 198] = 252 × 198 ÷ 18 = 2772；确实 2772 = 2² · 3² · 7 · 11，用了所有质因数的较大指数。乘积 18 × 2772 = 49896，与 252 × 198 = 49896 相等。
典型应用题：用哪一个
周期再次重合，用最小公倍数。 两路公交车早上 8:00 同时发车，一路每 12 分钟一班，另一路每 18 分钟一班。每路车的发车时刻都是各自间隔的倍数，它们在第一个公倍数处再次同时发车：[12, 18] = 36，所以 8:36 再次同时发车。
分成等份，用最大公约数。 两根彩带长 84 厘米和 36 厘米，要剪成同样长、尽量长的小段，不能有剩余。每段长 (84, 36) = 12 厘米，段数是 84 ÷ 12 + 36 ÷ 12 = 7 + 3 = 10。
分数通分，用分母的最小公倍数。 计算 5/12 + 7/18 时，最小公分母是 [12, 18] = 36：5/12 = 15/36，7/18 = 14/36，和为 29/36。
常见错误
- 把非公共的质因数放进最大公约数。 12 = 2² · 3，20 = 2² · 5，3 和 5 都不能进最大公约数，结果是 2² = 4。
- 指数取反。 最大公约数取较小指数，最小公倍数取较大指数。取反得到的数既不能整除，也不是倍数。
- 三个数也用 “最小公倍数 × 最大公约数 = a × b”。 这个关系只对两个数成立。2、4、8 的最小公倍数是 8，最大公约数是 2，8 × 2 = 16，而 2 × 4 × 8 = 64。
- 短除法求最大公约数时把所有除数都乘上。 只有那些整除了全部数的行才算。
- 弄错题目要求。 问自己：要找的是能“放进”每个数的数（最大公约数，比已知数小），还是“包含”每个数的数（最小公倍数，比已知数大）？最大公约数不会超过最小的数，最小公倍数不会小于最大的数。
常见问题
应用题里什么时候用最小公倍数，什么时候用最大公约数？
事件周期性重复、问何时再次重合，或需要通分时，用最小公倍数；要把数量分成尽量大的等份时，用最大公约数。
两个互质的数，最大公约数是多少？
按定义是 1。这时最小公倍数就是两数之积，例如 [8, 15] = 120。
“最小公倍数 × 最大公约数 = a × b” 对三个数也成立吗？
一般不成立。2、4、8 的最小公倍数是 8，最大公约数是 2，乘积为 16，而 2 · 4 · 8 = 64。
哪种方法最快？
数较小时，短除法一次就能同时得到最小公倍数和最大公约数。两个大数时，辗转相除法几步就求出最大公约数，再用 a × b ÷ 最大公约数 得到最小公倍数。