MMC e MDC: métodos rápidos (fatoração, divisões sucessivas e Euclides)

MDC (máximo divisor comum) é o maior inteiro que divide todos os números dados. MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor inteiro positivo que é múltiplo de todos eles. Os dois aparecem em frações, em problemas de repetição e em divisão em partes iguais.

Método 1: fatoração em primos

Decomponha cada número em fatores primos.

• MDC: produto dos primos comuns, cada um com o menor expoente.
• MMC: produto de todos os primos que aparecem, cada um com o maior expoente.

Exemplo resolvido: 12 e 18

1. $12 = 2^2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$.
2. $\text{mdc} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.
3. $\text{mmc} = 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
4. Conferência: $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$.

Método 2: decomposição simultânea

Divida todos os números pelos primos em ordem, na mesma tabela, até sobrar 1 em todos. O produto de todos os divisores é o MMC; o produto dos divisores que dividiram todos os números ao mesmo tempo é o MDC.

Exemplo resolvido: 12, 18 e 30

1. $\text{mmc} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180$.
2. $\text{mdc} = 2 \cdot 3 = 6$.

Método 3: algoritmo de Euclides

Para números grandes, fatorar é lento. Euclides usa o fato de que $\text{mdc}(a, b) = \text{mdc}(b, r)$, onde $r$ é o resto de $a \div b$. Repita até o resto ser zero; o último divisor é o MDC.

Exemplo resolvido: mdc(84, 36)

1. $84 = 2 \cdot 36 + 12$.
2. $36 = 3 \cdot 12 + 0$.
3. O resto zerou: $\text{mdc}(84, 36) = 12$.

Atalho: mmc a partir do mdc

Para dois números positivos:

Com o exemplo anterior: $\text{mmc}(84, 36) = \dfrac{84 \cdot 36}{12} = 7 \cdot 36 = 252$.

Problemas típicos

Exemplo resolvido: dois ônibus saem juntos às 8h, um a cada 12 minutos e outro a cada 18 minutos. Quando saem juntos de novo?

1. Eventos que se repetem e coincidem: MMC.
2. $\text{mmc}(12, 18) = 36$.
3. Saem juntos de novo às 8h36.

Exemplo resolvido: duas fitas de 84 cm e 36 cm serão cortadas em pedaços iguais, do maior tamanho possível, sem sobra. Qual o tamanho e quantos pedaços?

1. Maior parte igual que divide as duas: MDC.
2. $\text{mdc}(84, 36) = 12$ cm.
3. Pedaços: $84 \div 12 + 36 \div 12 = 7 + 3 = 10$.

Erros comuns

1. No MDC, incluir primos que não são comuns a todos os números.
2. Usar $\text{mmc} \cdot \text{mdc} = a \cdot b$ com três ou mais números.
3. Confundir qual dos dois o problema pede: coincidência pede MMC; divisão em partes iguais pede MDC.