猜词游戏里的数学：计数、概率与比特

在六次机会内猜出一个五字母英文单词，已经成为许多人每天的小习惯，“第一个词猜什么最好”也总能引发讨论。它背后是实打实的数学：计数、概率和信息论。本文只把这个游戏当作切入点，讲清这三个在游戏之外同样有用的概念。例子中的词表和数字都是假设的，只为让计算简洁。

先看乘法原理：一个选择有 $a$ 种方式，另一个独立选择有 $b$ 种方式，两者组合就有 $a \cdot b$ 种。字母表有 26 个字母、允许重复时，五字母序列的每个位置都有 26 种选择。

如果五个字母必须互不相同，第一个位置有 26 种，第二个 25 种，依此类推。这就是从 26 个元素中取 5 个的排列数。

这些序列几乎都不是真正的单词。这类游戏的答案表通常只有几千个词，只占约 1188 万个序列的极小部分。正因如此游戏才玩得下去：语言本身在你第一次猜之前就排除了绝大多数可能。

再做一次计数：反馈的每一格有三种颜色（字母对且位置对、字母存在但位置不对、字母不存在）。五格共有 $3^5$ = 243 种颜色模式。有些模式实际上不会出现，但 243 是一次猜测最多能分出的组数。

若剩下 N 个等可能的候选词，随机选一个命中的概率是 1/N。200 个候选时为 1/200，即 0.5%；2 个候选时为 50%。整个游戏就是尽快缩小 N，而每次猜测都是一个把候选表按颜色模式分组的问题。

设答案是 N 个等可能选项之一。一个设计良好的是非题能把候选减半。需要多少个这样的问题？就是满足 $2^k = N$ 的 $k$，即 $k = \log_2 N$。这个量的单位是比特。

200 个候选时，$\log_2 200$ 约为 7.64 比特。游戏中的一次猜测不是是非题，它最多有 243 种反馈，所以理论上最多提供 $\log_2 243$，约 7.92 比特。真实单词远达不到，但这给出了理论上限。

当一次猜测把 N 个候选分成大小为 $n_1, n_2, \dots, n_k$ 的组时，落入第 $i$ 组的概率是 $p_i = n_i/N$。有两个指标评价猜测：

第一个很直观：你落入某组的概率与组的大小成正比，落入后剩下的正是这么多。第二个是香农熵，衡量猜测平均能”对半砍”几次。期望剩余越小、熵越大，猜测越好。

假设还剩 200 个候选（假设数据）。猜测 A 把它们分成大小为 80、60、40、20 的四组；猜测 B 分成四组各 50 个。哪个更好？

验算。 A 的各组之和 80 + 60 + 40 + 20 = 200，B 为 4 × 50 = 200，没有候选遗漏。A 的概率之和 0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1。四组最多只能提供 $\log_2 4$ = 2 比特，且只有各组相等时才达到，正是 B 的情形。B 之后还剩 50 个候选，约 5.64 比特待解，这也说明为什么一次猜不中。

• 把序列当成单词。 26 的 5 次方数的是序列，真正决定 N 的是小得多的答案表。
• 允许重复时却用排列数。 真实单词会有重复字母，7,893,600 只适用于字母互不相同的情况。
• 以为第一次绿格越多越好。 关键是你落入的组的期望大小，而不是某一轮的运气。
• 直接取各组大小的平均。 80、60、40、20 的平均是 50，但期望是 60，因为大组更可能被落入。
• 对数底数用错。 比特对应以 2 为底；用自然对数单位变为”奈特”，除以 $\ln 2$ 即可换算。