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Les intégrales pas à pas, de la primitive à l'intégrale définie

Primitives, changement de variable, intégration par parties et intégrale définie en leçons courtes, chaque exercice corrigé ligne par ligne.

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Équation du second degré

x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
  1. Δ=(−5)2−4⋅1⋅6\displaystyle \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6
  2. Δ=25−24=1\displaystyle \Delta = 25 - 24 = 1
  3. x=5±12\displaystyle x = \frac{5 \pm 1}{2}

Réponse x1=2,  x2=3x_1 = 2,\; x_2 = 3

Pourcentage

15%⋅24015\% \cdot 240
  1. 10%⋅240=24\displaystyle 10\% \cdot 240 = 24
  2. 5%⋅240=12\displaystyle 5\% \cdot 240 = 12
  3. 24+12\displaystyle 24 + 12

Réponse 3636

Fractions

23+14\frac{2}{3} + \frac{1}{4}
  1. ppcm⁡(3,4)=12\displaystyle \operatorname{ppcm}(3, 4) = 12
  2. 812+312\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{3}{12}
  3. 8+312\displaystyle \frac{8 + 3}{12}

Réponse 1112\frac{11}{12}

Règle de trois

x12=4520\frac{x}{12} = \frac{45}{20}
  1. 20x=12⋅45\displaystyle 20x = 12 \cdot 45
  2. 20x=540\displaystyle 20x = 540
  3. x=54020\displaystyle x = \frac{540}{20}

Réponse x=27x = 27

Logarithme

log⁡248−log⁡23\log_2 48 - \log_2 3
  1. log⁡2483\displaystyle \log_2 \frac{48}{3}
  2. log⁡216\displaystyle \log_2 16
  3. 16=24\displaystyle 16 = 2^4

Réponse 44

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Exemples corrigés

Une primitive directe, un changement de variable, une intégrale définie et une intégration par parties.

Primitive d'une puissance

∫(6x2−4x+3) dx\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx
  1. ∫xn dx=xn+1n+1+C\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

    Valable pour n ≠ −1 ; on intègre terme à terme.

  2. 6⋅x33−4⋅x22+3x+C\displaystyle 6\cdot\frac{x^3}{3} - 4\cdot\frac{x^2}{2} + 3x + C

    L'exposant augmente de 1 et divise le terme ; la constante 3 devient 3x.

Réponse 2x3−2x2+3x+C2x^3 - 2x^2 + 3x + C

Changement de variable

∫2xcos⁡(x2) dx\int 2x\cos(x^2)\,dx
  1. u=x2,du=2x dx\displaystyle u = x^2,\quad du = 2x\,dx

    La dérivée de la fonction intérieure, 2x, apparaît déjà en facteur : c'est le signal.

  2. ∫cos⁡u du=sin⁡u+C\displaystyle \int \cos u\,du = \sin u + C

    Après le changement, il reste une primitive usuelle.

Réponse sin⁡(x2)+C\sin(x^2) + C

Intégrale définie

∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx
  1. [x33+x]02\displaystyle \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^2

    D'après le théorème fondamental de l'analyse, il suffit d'une primitive évaluée aux bornes.

  2. (83+2)−(0+0)\displaystyle \left(\frac{8}{3} + 2\right) - (0 + 0)

    Valeur en la borne supérieure moins valeur en la borne inférieure.

Réponse 143\frac{14}{3}

Intégration par parties

∫x ex dx\int x\,e^x\,dx
  1. ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du

    On choisit u = x, qui se simplifie en dérivant, et dv = eˣ dx.

  2. x ex−∫ex dx\displaystyle x\,e^x - \int e^x\,dx

    du = dx et v = eˣ.

Réponse ex(x−1)+Ce^x(x - 1) + C

Questions fréquentes sur les intégrales

Quelle différence entre primitive et intégrale définie ?

Une primitive est une fonction dont la dérivée est l'intégrande ; elles sont définies à une constante C près. L'intégrale définie est un nombre : la primitive en la borne supérieure moins la primitive en la borne inférieure, qui mesure l'aire algébrique sous la courbe.

Pourquoi ajouter + C ?

Parce que deux fonctions qui diffèrent d'une constante ont la même dérivée. Sans C, on oublierait une infinité de primitives valables.

Quand faire un changement de variable ou une intégration par parties ?

Changement de variable quand une fonction composée apparaît avec la dérivée de sa partie intérieure. Par parties quand l'intégrande est un produit de natures différentes, comme polynôme fois exponentielle, et que dériver un facteur le simplifie.

Math Mental calcule-t-il n'importe quelle intégrale ?

Ce n'est pas un calculateur. Ce sont des leçons avec des exercices corrigés pas à pas, pour que tu maîtrises la méthode et que tu t'en sortes seul le jour du contrôle.

C'est gratuit ?

Oui. Les leçons sont gratuites et sans publicité.

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