Integrais passo a passo, da primitiva à integral definida

Primitivas, substituição, integração por partes e integral definida em lições curtas, com cada questão resolvida linha a linha.

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Veja uma resolução

Equação do 2º grau

x^2 - 5x + 6 = 0

$\displaystyle \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6$
$\displaystyle \Delta = 25 - 24 = 1$
$\displaystyle x = \frac{5 \pm 1}{2}$

Resposta $S = \{2, 3\}$

Porcentagem

15\% \cdot 240

$\displaystyle 10\% \cdot 240 = 24$
$\displaystyle 5\% \cdot 240 = 12$
$\displaystyle 24 + 12$

Resposta $36$

Frações

\frac{2}{3} + \frac{1}{4}

$\displaystyle \operatorname{mmc}(3, 4) = 12$
$\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{3}{12}$
$\displaystyle \frac{8 + 3}{12}$

Resposta $\frac{11}{12}$

Regra de três

\frac{x}{12} = \frac{45}{20}

$\displaystyle 20x = 12 \cdot 45$
$\displaystyle 20x = 540$
$\displaystyle x = \frac{540}{20}$

Resposta $x = 27$

Logaritmo

\log_2 48 - \log_2 3

$\displaystyle \log_2 \frac{48}{3}$
$\displaystyle \log_2 16$
$\displaystyle 16 = 2^4$

Resposta $4$

Como o Math Mental ensina

Técnica certa para cada integral

Você aprende a reconhecer quando basta a regra da potência, quando cabe substituição e quando a saída é integrar por partes.
Cada passo justificado

A resolução mostra a escolha de u, a troca de dx e o cálculo nos limites, não só o resultado final.
Da técnica à aplicação

A trilha segue para áreas entre curvas, volumes e integrais duplas, no mesmo formato.

Exemplos resolvidos

Uma primitiva direta, uma substituição, uma integral definida e uma por partes.

Regra da potência

\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx

$\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
Vale para n ≠ −1; integra-se termo a termo.
$\displaystyle 6\cdot\frac{x^3}{3} - 4\cdot\frac{x^2}{2} + 3x + C$
O expoente sobe 1 e divide o termo; a constante 3 vira 3x.

Resposta $2x^3 - 2x^2 + 3x + C$

Substituição

\int 2x\cos(x^2)\,dx

$\displaystyle u = x^2,\quad du = 2x\,dx$
A derivada da função de dentro, 2x, já aparece multiplicando: é o sinal para substituir.
$\displaystyle \int \cos u\,du = \sin u + C$
Com a troca, sobra uma primitiva imediata.

Resposta $\sin(x^2) + C$

Integral definida

\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx

$\displaystyle \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^2$
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, basta uma primitiva avaliada nos limites.
$\displaystyle \left(\frac{8}{3} + 2\right) - (0 + 0)$
Substitui-se o limite superior e subtrai-se o valor no inferior.

Resposta $\frac{14}{3}$

Por partes

\int x\,e^x\,dx

$\displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du$
Escolhe-se u = x, que fica mais simples ao derivar, e dv = eˣ dx.
$\displaystyle x\,e^x - \int e^x\,dx$
du = dx e v = eˣ.

Resposta $e^x(x - 1) + C$

Perguntas frequentes sobre integrais

Qual a diferença entre integral indefinida e definida?

A indefinida é a família de primitivas de uma função, por isso leva a constante C. A definida é um número: a primitiva avaliada no limite superior menos a avaliada no inferior, que mede a área com sinal sob o gráfico.

Por que a integral indefinida tem + C?

Porque funções que diferem por uma constante têm a mesma derivada. Sem o C, a resposta perderia infinitas primitivas válidas.

Como saber quando usar substituição ou por partes?

Substituição quando aparece uma função composta junto com a derivada da parte de dentro. Por partes quando o integrando é um produto de tipos diferentes, como polinômio vezes exponencial, e derivar um dos fatores o simplifica.

O Math Mental resolve qualquer integral que eu digitar?

Não é uma calculadora. São lições com questões resolvidas passo a passo, para você aprender a técnica e resolver sozinho na prova.

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Sim. As lições são gratuitas e sem anúncios.

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