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L'équation du second degré, pas à pas

Discriminant, formule des racines, somme et produit et équations incomplètes, avec chaque exercice corrigé ligne par ligne.

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Équation du second degré

x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
  1. Δ=(−5)2−4⋅1⋅6\displaystyle \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6
  2. Δ=25−24=1\displaystyle \Delta = 25 - 24 = 1
  3. x=5±12\displaystyle x = \frac{5 \pm 1}{2}

Réponse x1=2,  x2=3x_1 = 2,\; x_2 = 3

Pourcentage

15%⋅24015\% \cdot 240
  1. 10%⋅240=24\displaystyle 10\% \cdot 240 = 24
  2. 5%⋅240=12\displaystyle 5\% \cdot 240 = 12
  3. 24+12\displaystyle 24 + 12

Réponse 3636

Fractions

23+14\frac{2}{3} + \frac{1}{4}
  1. ppcm⁡(3,4)=12\displaystyle \operatorname{ppcm}(3, 4) = 12
  2. 812+312\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{3}{12}
  3. 8+312\displaystyle \frac{8 + 3}{12}

Réponse 1112\frac{11}{12}

Règle de trois

x12=4520\frac{x}{12} = \frac{45}{20}
  1. 20x=12⋅45\displaystyle 20x = 12 \cdot 45
  2. 20x=540\displaystyle 20x = 540
  3. x=54020\displaystyle x = \frac{540}{20}

Réponse x=27x = 27

Logarithme

log⁡248−log⁡23\log_2 48 - \log_2 3
  1. log⁡2483\displaystyle \log_2 \frac{48}{3}
  2. log⁡216\displaystyle \log_2 16
  3. 16=24\displaystyle 16 = 2^4

Réponse 44

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Exemples corrigés

Les trois cas du discriminant : deux racines, une racine double et aucune racine réelle.

Deux racines réelles (Δ > 0)

2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 0
  1. a=2, b=3, c=−2\displaystyle a = 2,\ b = 3,\ c = -2

    Repérer les coefficients avec leur signe.

  2. Δ=b2−4ac=9−4⋅2⋅(−2)=25\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac = 9 - 4\cdot 2\cdot(-2) = 25

    Comme c est négatif, −4ac devient positif et s'ajoute.

  3. x=−b±Δ2a=−3±54\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{4}

    Formule des racines avec √25 = 5.

Réponse x1=12,x2=−2x_1 = \tfrac{1}{2},\quad x_2 = -2

Racine double (Δ = 0)

x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0
  1. Δ=(−4)2−4⋅1⋅4=0\displaystyle \Delta = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 0

    Discriminant nul : les deux racines sont confondues.

  2. x=4±02\displaystyle x = \frac{4 \pm 0}{2}

    Le ± ne change rien quand √Δ = 0.

Réponse x=2x = 2

Aucune racine réelle (Δ < 0)

x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0
  1. Δ=22−4⋅1⋅5=−16\displaystyle \Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = -16

    Discriminant négatif.

  2. −16∉R\displaystyle \sqrt{-16} \notin \mathbb{R}

    Un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

Réponse S=∅ dans RS = \varnothing \text{ dans } \mathbb{R}

Questions fréquentes sur l'équation du second degré

Quelle est la formule des racines ?

Pour ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0, x = (−b ± √Δ) / 2a, où Δ = b² − 4ac est le discriminant.

Que dit le signe du discriminant ?

Si Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, une racine double ; si Δ < 0, aucune racine réelle (les racines sont complexes).

Comment résoudre une équation incomplète sans le discriminant ?

Si b = 0, isole x² : pour x² − 9 = 0, x² = 9 donc x = ±3. Si c = 0, factorise par x : pour x² − 5x = 0, x(x − 5) = 0 donc x = 0 ou x = 5.

Quand utiliser somme et produit ?

Quand les racines sont entières et faciles à deviner : leur somme vaut −b/a et leur produit c/a. Pour x² − 5x + 6 = 0, les nombres de somme 5 et de produit 6 sont 2 et 3.

C'est gratuit ?

Oui. Les leçons sont gratuites et sans publicité, sur mobile ou ordinateur.

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