平均数、中位数和众数都是集中趋势的度量：各自用一个典型值来概括一组数据。它们回答的问题不同，选错了会歪曲结论。

算术平均数

xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

例题：成绩 6、7、7、8、9

  1. 求和：6+7+7+8+9=376 + 7 + 7 + 8 + 9 = 37。
  2. 个数：n=5n = 5。
  3. 平均数：375=7.4\dfrac{37}{5} = 7.4。

加权平均数

每个数值 xix_i 有权重 wiw_i 时：

xˉw=w1x1+w2x2+⋯+wnxnw1+w2+⋯+wn\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}

例题：成绩 6 权重为 2，成绩 8 权重为 3

  1. 加权和：2⋅6+3⋅8=12+24=362 \cdot 6 + 3 \cdot 8 = 12 + 24 = 36。
  2. 权重之和：2+3=52 + 3 = 5。
  3. 平均数：365=7.2\dfrac{36}{5} = 7.2。

中位数

先把数据排序。nn 为奇数时，中位数是正中间的数；nn 为偶数时，是中间两个数的平均数。

例题：9、4、7、10、8

  1. 排序：4,7,8,9,104, 7, 8, 9, 10。
  2. n=5n = 5，奇数：第 3 个数在正中间。
  3. 中位数：88。

例题：10、4、8、7

  1. 排序：4,7,8,104, 7, 8, 10。
  2. n=4n = 4，偶数：中间两个数是 77 和 88。
  3. 中位数：7+82=7.5\dfrac{7 + 8}{2} = 7.5。

忘记排序是求中位数时最常见的错误。

众数

出现次数最多的数。在 3,5,5,6,93, 5, 5, 6, 9 中，众数是 55。在 2,2,4,4,72, 2, 4, 4, 7 中有两个众数（22 和 44）：数据是双众数的。

三者之中只有众数适用于分类数据：如果调查中被提到最多的交通方式是”公交车”，它就是众数。交通方式没有平均数。

什么时候用哪一个

例题：一家小公司的工资（单位：千元）：2、2、3、3、3、4、20

  1. 平均数：377≈5.29\dfrac{37}{7} \approx 5.29。
  2. 中位数：共 7 个数，第 4 个是 33。
  3. 众数：33。
  4. 七人中有六人收入不超过 4 千元。5.29 千元的平均数被 20 千元的工资拉高，不能代表典型员工；中位数和众数可以。
情况更合适的度量
数据对称，没有极端值平均数
有极端值或分布偏斜（收入、房价）中位数
分类数据或最常见的值（卖得最多的衣服尺码）众数
各数值重要性不同（带权重的成绩）加权平均数

常见错误

  1. 没有排序就求中位数。
  2. 用平均数描述含少数极高值的收入或价格。
  3. 求加权平均数时除以数值个数，而不是权重之和。

常见问题

为什么工资常用中位数来报告？

因为少数很高的工资会把平均数拉高。中位数把人群分成人数相等的两半，不受这些极端值影响。

一组数据可以有多个众数或没有众数吗？

可以。两个数值并列出现次数最多时，数据是双众数的。如果每个数值出现次数都相同，通常说没有众数。

中位数一定是数据中的某个数吗？

不一定。数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，可能不在原数据中。

加权平均数在成绩计算中怎么用？

各次考试权重不同时：每个成绩乘以它的权重，全部相加，再除以权重之和。