分数就是尚未计算的除法：ab\dfrac{a}{b} 等于 a÷ba \div b，其中 b≠0b \neq 0。下面所有法则都来自这一点，以及”分子分母同乘一个非零数，分数值不变”。

加法和减法

只有分母相同的分数才能直接相加：

ad+bd=a+bd\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}

分母不同时，先把两个分数化成同分母。最小的公分母就是分母的最小公倍数（lcm）。

例题：23+14\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}

  1. lcm(3,4)=12\text{lcm}(3, 4) = 12。
  2. 23=812\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}，14=312\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}。
  3. 和：8+312=1112\dfrac{8 + 3}{12} = \dfrac{11}{12}。

例题：56−38\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}

  1. lcm(6,8)=24\text{lcm}(6, 8) = 24。
  2. 56=2024\dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{24}，38=924\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}。
  3. 差：20−924=1124\dfrac{20 - 9}{24} = \dfrac{11}{24}。

乘法

ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

不需要通分。相乘之前交叉约分，可以避免出现大数。

例题：34⋅89\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9}

  1. 交叉约分：33 和 99 同除以 3，88 和 44 同除以 4。
  2. 得到 11⋅23\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{2}{3}。
  3. 结果：23\dfrac{2}{3}。

如果不先约分，会得到 2436\dfrac{24}{36}，同样约成 23\dfrac{2}{3}，但更费事。

除法

乘以除数的倒数：

ab÷cd=ab⋅dc\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

例题：56÷109\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{9}

  1. 把除数倒过来：56⋅910\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10}。
  2. 交叉约分：55 和 1010 同除以 5，99 和 66 同除以 3。
  3. 12⋅32=34\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4}。

带分数

计算前先化成假分数：213=2⋅3+13=732\tfrac{1}{3} = \dfrac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}。

例题：213+1122\tfrac{1}{3} + 1\tfrac{1}{2}

  1. 73+32\dfrac{7}{3} + \dfrac{3}{2}。
  2. lcm(3,2)=6\text{lcm}(3, 2) = 6：146+96=236\dfrac{14}{6} + \dfrac{9}{6} = \dfrac{23}{6}。
  3. 化回带分数：23=3⋅6+523 = 3 \cdot 6 + 5，所以是 3563\tfrac{5}{6}。

常见错误

  1. 把分母相加。
  2. 做除法时把被除数倒过来，而不是除数。
  3. 约掉和式中的一项：2+62\dfrac{2 + 6}{2} 不能直接”约去”2，它的值是 44。

常见问题

分数相加可以分子加分子、分母加分母吗？

不可以。1/2 + 1/2 那样会得到 2/4 = 1/2，正确答案却是 1。只有先通分，才能把分子相加。

通分一定要用最小公倍数吗？

任何公倍数都可以，包括分母的乘积。用最小公倍数只是让数字更小，最后需要约分的工作更少。

为什么除以一个分数等于乘以它的倒数？

除以 b/c 是在问这个数里包含多少个 b/c，乘以 c/b 恰好得到这个值，因为 (b/c) · (c/b) = 1。