Orden de las operaciones: por qué 6÷2(1+2) divide a internet

Cada tanto se vuelve viral una operación corta: 6÷2(1+2). La mitad jura que es 9, la otra mitad que es 1, y alguien publica la foto de dos calculadoras que no coinciden. “Calculator” está entre las búsquedas más altas del año en Estados Unidos, y parte de esa curiosidad viene de aquí: si la máquina no se equivoca, ¿por qué dos máquinas responden distinto?

La respuesta enseña algo importante: la notación matemática es un lenguaje, y todo lenguaje tiene convenciones.

Una expresión se lee por capas:

1. Paréntesis, corchetes y llaves, de adentro hacia afuera.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicación y división, con la misma prioridad, de izquierda a derecha.
4. Suma y resta, con la misma prioridad, de izquierda a derecha.

El paso 3 es el que más confunde: la multiplicación no va antes que la división; están en el mismo nivel y decide la posición.

Todo depende de la multiplicación implícita, cuando se omite el signo, como en $2(1+2)$ o $2x$:

• Convención estricta: es una multiplicación más. Entonces 6÷2(1+2) = 6÷2×3 = 3×3 = 9. Así trabajan casi todas las calculadoras del celular y los lenguajes de programación.
• Convención de yuxtaposición: lo que va pegado forma un bloque con más prioridad. Entonces 2(1+2) = 6 y 6÷6 = 1. Varios modelos de calculadoras científicas y muchos textos de física leen así; quien escribe $1/2x$ casi siempre quiere decir $1/(2x)$.

Ninguna está mal. Son reglas de lectura distintas aplicadas a una escritura que no aclara la intención. Por eso en matemática profesional se usa la fracción con raya horizontal.

Resolvamos con cuidado una expresión sin ambigüedad: 18 − 12 ÷ 3 × 2 + 1.

En el paso 2, quien hiciera primero 3 × 2 obtendría 12 ÷ 6 = 2 y terminaría en 18 − 2 + 1 = 17, que es incorrecto. Con paréntesis, (18 − 12) ÷ (3 × 2) + 1 = 6 ÷ 6 + 1 = 2. Mismos números, otra agrupación: 11 contra 2.

En la vida diaria también importa: si una compra hipotética cuesta $400 más 3 artículos de $50, teclear 400 + 3 × 50 da $550, lo correcto; teclear (400 + 3) × 50 da $20150.

• Multiplicar siempre antes de dividir. Mismo nivel: de izquierda a derecha.
• Sumar siempre antes de restar. 10 − 4 + 2 da 8, no 4.
• Confundir $-3^2$ con $(-3)^2$. $-3^2 = -9$, mientras que $(-3)^2 = 9$.
• Potencias encadenadas. $2^{3^2} = 2^9 = 512$, no $8^2 = 64$.
• Confiar en el teclado sin probarlo. Antes de un examen, prueba 6÷2(1+2) en tu calculadora.

Si se puede leer de dos formas, agrega paréntesis. Un paréntesis de más nunca cambia el valor de una expresión correcta. En papel, prefiere la raya de fracción al signo ÷; en la calculadora, escribe (6/2)(1+2) o 6/(2(1+2)).