Ordem das operações: por que 6÷2(1+2) divide a internet

De tempos em tempos, uma imagem com uma conta curta viraliza: 6÷2(1+2). Metade das pessoas jura que é 9, a outra metade jura que é 1, e alguém sempre posta a foto de duas calculadoras discordando. Nos Estados Unidos, as buscas por “calculator” vivem entre as mais altas do ano, e boa parte da curiosidade vem justamente disso: se a máquina não erra, por que duas máquinas dão respostas diferentes?

A resposta ensina uma coisa importante sobre matemática: notação é linguagem, e linguagem tem convenções. Entender essas convenções é o que separa quem acerta expressões numéricas de quem acerta só às vezes.

Uma expressão numérica é lida em camadas. A convenção ensinada na escola, no Brasil e fora dele, é esta:

1. Parênteses, colchetes e chaves, de dentro para fora.
2. Potências e raízes.
3. Multiplicação e divisão, com a mesma prioridade, da esquerda para a direita.
4. Adição e subtração, com a mesma prioridade, da esquerda para a direita.

O ponto que mais gera erro é o item 3. Multiplicação não vem antes da divisão: as duas estão no mesmo nível, e quem decide é a posição na expressão. O mesmo vale para adição e subtração. Siglas como PEMDAS, usada nos Estados Unidos, induzem ao engano porque parecem dizer que M vem antes de D.

A divergência está em um detalhe: a multiplicação implícita, quando o sinal de vezes é omitido, como em $2(1+2)$ ou $2x$. Existem duas convenções em uso:

• Convenção estrita: a multiplicação implícita é uma multiplicação como outra qualquer. Então 6÷2(1+2) = 6÷2×3 = 3×3 = 9. É o que faz a maioria das calculadoras de celular e das linguagens de programação, que nem aceitam o sinal omitido.
• Convenção da justaposição: o que está colado forma um bloco, com prioridade maior. Então 2(1+2) = 6 vira um só número e 6÷6 = 1. Vários modelos de calculadoras científicas e boa parte dos textos de física e engenharia leem assim. Quem escreve $1/2x$ quase sempre quer dizer $1/(2x)$, e não $x/2$.

Nenhuma das duas está errada. Elas são regras de leitura diferentes aplicadas a uma escrita que não deixa claro o que o autor queria. Por isso, em matemática profissional, ninguém escreve 6÷2(1+2): usa-se fração com traço horizontal, que elimina a dúvida.

Vamos resolver uma expressão maior, sem ambiguidade, aplicando as regras com cuidado: 18 − 12 ÷ 3 × 2 + 1.

Repare no passo 2: quem fizesse 3 × 2 primeiro calcularia 12 ÷ 6 = 2 e terminaria com 18 − 2 + 1 = 17, que está errado. Agora compare com a versão com parênteses, (18 − 12) ÷ (3 × 2) + 1: o parêntese muda tudo, e o resultado é 6 ÷ 6 + 1 = 2. Os mesmos números, com agrupamentos diferentes, dão 11 ou 2.

• Multiplicar antes de dividir sempre. Divisão e multiplicação têm a mesma prioridade; vale a ordem da esquerda para a direita.
• Somar antes de subtrair sempre. Em 10 − 4 + 2, o resultado é 8, não 4.
• Confundir $-3^2$ com $(-3)^2$. A potência vem antes do sinal: $-3^2 = -9$, enquanto $(-3)^2 = 9$.
• Potência em cascata. $2^{3^2}$ se lê de cima para baixo: $2^9 = 512$, e não $8^2 = 64$.
• Confiar no teclado sem saber o que ele faz. Antes de uma prova, teste sua calculadora com 6÷2(1+2). Se der 1, ela usa a convenção da justaposição.

A regra prática é simples: se alguém pode ler de dois jeitos, acrescente parênteses. Parêntese extra nunca muda o valor de uma expressão correta; só elimina dúvida. No caderno, prefira o traço de fração ao sinal ÷. Na calculadora ou em planilhas, digite (6/2)(1+2) ou 6/(2(1+2)), com o sinal de vezes explícito, e você terá a mesma resposta em qualquer aparelho.